Раздел III. Неопределённый интеграл — § 2. Интегрирование рациональных функций

Демидович — задача 1883

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод неопределённых коэффициентов, найти следующие интегралы:

Задача 1883

∫dxx4−1\displaystyle\int\frac{dx}{x^4-1}.
Ответ:14ln⁡∣x−1x+1∣−12arctg⁡x+C,x≠−1,x≠1\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|
-\dfrac{1}{2}\arctg x+C,
\qquad
x\ne-1,
\quad
x\ne1На каждом из трёх промежутков области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Подынтегральная функция определена при x≠−1x\ne-1 и x≠1x\ne1. Разложим знаменатель на множители:x4−1=(x−1)(x+1)(x2+1)x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)Методом неопределённых коэффициентов ищем разложение в виде1x4−1=Ax−1+Bx+1+Cx+Dx2+1\dfrac{1}{x^4-1}
=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}
+\dfrac{Cx+D}{x^2+1}После умножения на (x−1)(x+1)(x2+1)(x-1)(x+1)(x^2+1) получаем тождество1=A(x+1)(x2+1)+B(x−1)(x2+1)+(Cx+D)(x2−1)\begin{aligned}
1={}&A(x+1)(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+(Cx+D)(x^2-1)
\end{aligned}Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xx, имеемA+B+C=0,A−B+D=0,A+B−C=0,A−B−D=1A+B+C=0,
\qquad
A-B+D=0,
\qquad
A+B-C=0,
\qquad
A-B-D=1ОтсюдаA=14,B=−14,C=0,D=−12A=\dfrac14,
\qquad
B=-\dfrac14,
\qquad
C=0,
\qquad
D=-\dfrac12Поэтому1x4−1=14(x−1)−14(x+1)−12(x2+1)\dfrac{1}{x^4-1}
=\dfrac{1}{4(x-1)}-\dfrac{1}{4(x+1)}
-\dfrac{1}{2(x^2+1)}Интегрируя почленно, получаем∫dxx4−1=14ln⁡∣x−1x+1∣−12arctg⁡x+C\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{x^4-1}
&=\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|
-\dfrac{1}{2}\arctg x+C
\end{aligned}На каждом промежутке области определения постоянная интегрирования выбирается независимо.
Демидович № 1883 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика