Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2149

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2149

\displaystyle\int\frac{ax^2+b}{x^2+1}\arctg x\,dx

Ответ:

a\left(x\arctg x -\frac{1}{2}\ln|x^2+1| \right)+\frac{b-a}{2}\arctg^2 x+C

Решение

Для решения необходимо выделить целую часть в первом множителе. В таком случае получим два простых интеграла: один от арктангенса, а второй от произведения арктангенса и его производной. Покажем это.

Сначала выделим:

\frac{ax^2+b}{x^2+1} = \frac{ax^2+a+(b-a)}{x^2+1} = a+\frac{b-a}{x^2+1}

Интеграл распадется следующим образом:

\int \frac{ax^2+b}{x^2+1}\arctg x\;dx = a\int \arctg x\;dx+ (b-a)\int \frac{\arctg x}{x^2+1}\;dx

Во втором интеграле просто заносим знаменатель под дифференциал:

\int \frac{\arctg x}{x^2+1}\;dx = \int \arctg x\;d(\arctg x) = \frac{\arctg^2 x}{2}+C

Первый интеграл необходимо брать по частям:

\int \arctg x\;dx = x\arctg x - \int x\;d(\arctg x) = x\arctg x - \int \frac{x}{x^2+1}\;dx

Последнее слагаемое легко решается, если занесем числитель под дифференциал:

\int \frac{x}{x^2+1}\;dx = \frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1} = \frac{1}{2}\ln|x^2+1|+C

Остается сложить имеющиеся функции с нужными коэффициентами.