Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2127

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{(1-x^2)^3}

Ответ:

\dfrac{x}{4(1-x^2)^2}-\dfrac{x}{8(1-x^2)}-\dfrac1{16}\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|+C

Решение

Положим

J_k=\int\frac{dx}{(1-x^2)^k}

. Поскольку

x^2=1-(1-x^2)

, искомый интеграл равен

J_3-J_2

\left(\dfrac{x}{(1-x^2)^2}\right)'=\dfrac{1+3x^2}{(1-x^2)^3}=\dfrac4{(1-x^2)^3}-\dfrac3{(1-x^2)^2}

Следовательно,

J_3=\frac{x}{4(1-x^2)^2}+\frac34J_2

, и

I=\dfrac{x}{4(1-x^2)^2}-\dfrac14J_2

Аналогично

\left(\frac{x}{1-x^2}\right)'=\frac2{(1-x^2)^2}-\frac1{1-x^2}

, поэтому

J_2=\dfrac{x}{2(1-x^2)}+\dfrac14\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|+C

Подставляя это выражение, получаем

I=\dfrac{x}{4(1-x^2)^2}-\dfrac{x}{8(1-x^2)}-\dfrac1{16}\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|+C

Формула применяется на каждом промежутке, не содержащем

-1

1