Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2154

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2154

\displaystyle\int\frac{x^3\arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx

Ответ:

-\frac{(2+x^2)\sqrt{1-x^2}}{3}\arccos x -\frac{2}{3}x-\frac{x^3}{9}+C

Решение

Используем ту же идею, что и номере 2152 -- интегрируем по частям, чтобы избавиться от

\arccos x

. Для этого нам необходимо внести под дифференциал оставшийся множитель в подынтегральной функции. Иными словами, нам надо найти интеграл:

\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}\;dx

Занесем один

x

под дифференциал, чтобы осталась зависимость от

x^2

\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}\;dx = \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\;d(x^2)

Полученный интеграл решить уже довольно просто. Для этого надо избавиться от корня и перейти к интегралу от рациональной функции. С этой целью сделаем замену

t=\sqrt{1-x^2}

. При такой замене получим:

t=\sqrt{1-x^2},\quad x^2=1-t^2\quad\text{и}\quad d(x^2)=-2t\;dt

Подставим в наш интеграл:

\frac{1}{2}\int\frac{1-t^2}{t}\cdot (-2t)\;dt =\int (t^2-1)\;dt=\frac{t^3}{3}-t+C

Возвращаясь к переменной

x

, получим:

\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}\;dx = \frac{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}{3}-\sqrt{1-x^2}+C

Приводя подобные слагаемые, получаем:

-\frac{(2+x^2)\sqrt{1-x^2}}{3}+C

С учетом этого найденного можем приступить, наконец, к интегрированию по частям. Заносим множитель под дифференциал:

\int \frac{x^3 \arccos x}{\sqrt{1-x^2}}\;dx = \int \arccos x \;d\left(-\frac{(2+x^2)\sqrt{1-x^2}}{3}\right)

Применяем формулу:

-\frac{(2+x^2)\sqrt{1-x^2}}{3}\arccos x + \int \frac{(2+x^2)\sqrt{1-x^2}}{3}\;d(\arccos x)

После вынесения производной из под дифференциала останется следующее:

-\frac{(2+x^2)\sqrt{1-x^2}}{3}\arccos x - \int \frac{(2+x^2)}{3}\;dx

Найти последний интеграл не составляет никакого труда:

\int \frac{(2+x^2)}{3}\;dx = \frac{2}{3}x+\frac{x^3}{9}+C

Остается записать ответ.