Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2150

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{ax^2+b}{x^2-1}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\,dx

Ответ:

a\left( x\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| -\ln|x^2-1| \right) +\dfrac{a+b}{4} \ln^2\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+C, \qquad x\ne\pm1

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne-1

x\ne1

. Параметры

a

b

считаем постоянными. Обозначим

L=\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|

Поскольку

ax^2+b=a(x^2-1)+(a+b)

, имеем

\dfrac{ax^2+b}{x^2-1} =a+\dfrac{a+b}{x^2-1}

Обозначив исходный интеграл через

I

, разделим его на два слагаемых:

I=a\int L\,dx+(a+b)\int\dfrac{L}{x^2-1}\,dx

Раскрывая логарифм отношения, имеем

L=\ln|x-1|-\ln|x+1|

. Отсюда

L'=\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1} =\dfrac2{x^2-1}

Во втором интеграле положим

y=L

. Тогда

dy=L'\,dx

\begin{aligned} \int\dfrac{L}{x^2-1}\,dx &=\dfrac12\int L L'\,dx=\\ &=\dfrac12\int y\,dy =\dfrac14L^2\end{aligned}

Следовательно,

I =a\int L\,dx+\dfrac{a+b}{4}L^2

Оставшийся интеграл вычислим по частям:

u=L, \qquad dv=dx, \qquad du=L'\,dx, \qquad v=x

\begin{aligned} \int L\,dx &=xL-\int xL'\,dx=\\ &=xL-2\int\dfrac{x}{x^2-1}\,dx=\\ &=xL-\ln|x^2-1|\end{aligned}

Здесь

2x\,dx=d(x^2-1)

, поэтому последний интеграл даёт

\ln|x^2-1|

. Подставляя результат в

I

, получаем формулу из ответа. Проверим её. Обозначим найденную функцию без постоянной через

F

F=a\left(xL-\ln|x^2-1|\right)+\dfrac{a+b}{4}L^2

Используя уже вычисленную производную

L'

, находим

\begin{aligned} F' &=a\left(L+xL'-\dfrac{2x}{x^2-1}\right) +\dfrac{a+b}{2}LL'=\\ &=aL+\dfrac{a+b}{x^2-1}L =\dfrac{ax^2+b}{x^2-1}L\end{aligned}

На промежутках

(-\infty;-1)

(-1;1)

(1;+\infty)

постоянные интегрирования могут быть различными.