Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2135

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{1+x^3+x^6}}

Ответ:

\dfrac13\ln\left|\dfrac{x^3}{1+\dfrac{x^3}{2}+\sqrt{x^6+x^3+1}}\right|+C,\qquad x\ne0

Решение

Положим

t=x^3

. Тогда

\frac{dx}{x}=\frac{dt}{3t}

, и

I=\dfrac13\int\dfrac{dt}{t\sqrt{t^2+t+1}}

Чтобы избежать различия знаков при

x>0

x<0

, обозначим

q=\sqrt{t^2+t+1}

и рассмотрим

H(t)=\ln\left|\dfrac{t}{1+\frac t2+q}\right|

. Знаменатель здесь положителен при

t\ne0

, так как

q^2-(1+\frac t2)^2=\frac34t^2>0

. Дифференцируя, получаем

H'(t)=\dfrac1t-\dfrac{\frac12+\frac{2t+1}{2q}}{1+\frac t2+q}=\dfrac1{tq}

Следовательно,

I=\dfrac13\ln\left|\dfrac{x^3}{1+\frac{x^3}{2}+\sqrt{x^6+x^3+1}}\right|+C

Эта формула справедлива при обоих знаках

x

, кроме

x=0

. Постоянные на двух промежутках независимы.