Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2131

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2131

\displaystyle\int\frac{x+2}{x^2\sqrt{1-x^2}}\,dx

Ответ:

-\frac{1}{2}\ln \left| \frac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1-x^2}-1}\right|-2\ctg (\arcsin x)+C

Формула задаёт первообразную отдельно на каждом из промежутков

-1<x<0\qquad\text{и}\qquad0<x<1.

Решение

Разобьем интеграл на два слагаемых:

\int \frac{x+2}{x^2\sqrt{1-x^2}}\;dx=\int \frac{x}{x^2\sqrt{1-x^2}}\;dx+\int \frac{2\,dx}{x^2\sqrt{1-x^2}}

В первом слагаемом теперь сможем внести

x

под дифференциал, чтобы далее рассматриваемые выражения зависели только от

x^2

\int \frac{x}{x^2\sqrt{1-x^2}}\;dx = \frac{1}{2}\int \frac{d(x^2)}{x^2\sqrt{1-x^2}}

Если переобозначим

t=x^2

, то получится, что перед нами интеграл

\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t\sqrt{1-t}}

С похожими интегралами уже сталкивались ранее. Для решения нужно заменить корень на новую переменную, чтобы прийти к интегралу от рациональной функции. Сделаем нужную замену:

u = \sqrt{1-t},\quad t=1-u^2\quad\text{и}\quad dt =-2u\; du

Подставим в интеграл и упростим:

\frac{1}{2}\int \frac{-2u\;du}{(1-u^2)u}=-\int \frac{du}{1-u^2}

Полученный интеграл является табличным:

-\int \frac{du}{1-u^2} = \int \frac{du}{u^2-1} =- \frac{1}{2}\ln \left| \frac{u+1}{u-1}\right|+C

Вернемся к переменной

x

\int \frac{x}{x^2\sqrt{1-x^2}}\;dx =-\frac{1}{2}\ln \left| \frac{\sqrt{1-x^2}+1}{\sqrt{1-x^2}-1}\right|+C

Осталось решить второй интеграл. Заметим, что в знаменателе стоят множители

x^2

\sqrt{1-x^2}

. С учетом этого было бы логично сделать замену на синус или на косинус. Остановимся на первом варианте. Тогда:

x=\sin t,\quad \sqrt{1-x^2}=|\cos t|\quad\text{и}\quad dx=\cos t \;dt

Подставим в интеграл:

\int \frac{2\,dx}{x^2\sqrt{1-x^2}} = \int \frac{2\cos t \;dt }{(\sin t)^2\;|\cos t|}

Так как

x

может принимать значения от

-1

до

1

, можно считать, что

t

принимает значения от

-\dfrac{\pi}{2}

до

\dfrac{\pi}{2}

. В таком случае можно избавиться от модуля у косинуса и интеграл совсем упростится:

2\int \frac{dt}{\sin^2t}=-2\ctg t+C

Остается вернуться к переменной

x

и сложить полученные функции для записи итогового ответа.