Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2164

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2164

∫tanh⁡2x+1 dx\displaystyle\int\sqrt{\tanh^2x+1}\,dx.
Ответ:2 arth⁡ ⁣(2th⁡x1+th⁡2x)−arth⁡ ⁣(th⁡x1+th⁡2x)+C,x∈R\sqrt2\,\operatorname{arth}\!\left(
\dfrac{\sqrt2\operatorname{th}x}{\sqrt{1+\operatorname{th}^2x}}
\right)
-\operatorname{arth}\!\left(
\dfrac{\operatorname{th}x}{\sqrt{1+\operatorname{th}^2x}}
\right)+C,
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Пусть II — исходный интеграл. Подынтегральная функция определена при всех x∈Rx\in\mathbb R. Положимu=th⁡x,du=(1−u2) dx,−1<u<1u=\operatorname{th}x,
\qquad du=(1-u^2)\,dx,
\qquad -1<u<1ТогдаI=∫1+u21−u2 duI=\int\dfrac{\sqrt{1+u^2}}{1-u^2}\,duДалее положим u=tg⁡θu=\tg\theta. Поскольку ∣u∣<1|u|<1, можно взять −π4<θ<π4-\frac\pi4<\theta<\frac\pi4, где cos⁡θ>0\cos\theta>0. Поэтомуdu=dθcos⁡2θ,1+u2=1cos⁡θ,1−u2=cos⁡2θcos⁡2θdu=\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta},
\qquad
\sqrt{1+u^2}=\dfrac1{\cos\theta},
\qquad
1-u^2=\dfrac{\cos2\theta}{\cos^2\theta}Следовательно,I=∫dθcos⁡θcos⁡2θI=\int\dfrac{d\theta}{\cos\theta\cos2\theta}Введём v=sin⁡θv=\sin\theta. Тогдаdv=cos⁡θ dθ,dθ=dvcos⁡θ,∣v∣<12dv=\cos\theta\,d\theta,
\qquad d\theta=\dfrac{dv}{\cos\theta},
\qquad |v|<\dfrac1{\sqrt2}Кроме того, cos⁡2θ=1−v2\cos^2\theta=1-v^2 и cos⁡2θ=1−2v2\cos2\theta=1-2v^2, поэтомуdθcos⁡θcos⁡2θ=dvcos⁡2θcos⁡2θ==dv(1−v2)(1−2v2)\begin{aligned}
\dfrac{d\theta}{\cos\theta\cos2\theta}
&=\dfrac{dv}{\cos^2\theta\cos2\theta}=\\
&=\dfrac{dv}{(1-v^2)(1-2v^2)}
\end{aligned}Найдём коэффициенты разложения1(1−v2)(1−2v2)=A1−v2+B1−2v2\dfrac1{(1-v^2)(1-2v^2)}
=\dfrac{A}{1-v^2}+\dfrac{B}{1-2v^2}После умножения на общий знаменатель получаем 1=A(1−2v2)+B(1−v2)1=A(1-2v^2)+B(1-v^2). Приравниваем постоянные коэффициенты и коэффициенты при v2v^2:A+B=1,2A+B=0,A=−1,B=2A+B=1,
\qquad 2A+B=0,
\qquad A=-1,
\quad B=2Таким образом,1(1−v2)(1−2v2)=−11−v2+21−2v2\dfrac{1}{(1-v^2)(1-2v^2)}
=-\dfrac{1}{1-v^2}+\dfrac{2}{1-2v^2}Для интегрирования введём функцию, обратную к гиперболическому тангенсу, — ареатангенс. Обозначим её arth⁡z\operatorname{arth}z; при действительных аргументах она определяется формулойarth⁡z=12ln⁡1+z1−z,∣z∣<1\operatorname{arth}z
=\dfrac12\ln\dfrac{1+z}{1-z},
\qquad |z|<1Это означает, что th⁡(arth⁡z)=z\operatorname{th}(\operatorname{arth}z)=z. Дифференцируя определение, получаем (arth⁡z)′=11−z2(\operatorname{arth}z)'=\frac1{1-z^2}. Во втором интеграле ниже замена z=2vz=\sqrt2v, dz=2 dvdz=\sqrt2\,dv даёт множитель 22=2\frac2{\sqrt2}=\sqrt2.

Из неравенства ∣v∣<12|v|<\frac1{\sqrt2} следуют ∣v∣<1|v|<1 и ∣2 v∣<1|\sqrt2\,v|<1, поэтому обе обратные гиперболические функции определены. Теперь интегрируем:I=−∫dv1−v2+2∫dv1−2v2==−arth⁡v+2 arth⁡ ⁣(2 v)+C\begin{aligned}
I
&=-\int\dfrac{dv}{1-v^2}
+2\int\dfrac{dv}{1-2v^2}=\\
&=-\operatorname{arth}v
+\sqrt2\,\operatorname{arth}\!\left(\sqrt2\,v\right)+C
\end{aligned}Из u=tg⁡θu=\tg\theta следуетv=sin⁡θ=tg⁡θcos⁡θ=u1+u2v=\sin\theta=\tg\theta\cos\theta
=\dfrac{u}{\sqrt{1+u^2}}Проверим окончательную обратную подстановку. Положимa(u)=u1+u2,b(u)=2 u1+u2a(u)=\dfrac{u}{\sqrt{1+u^2}},
\qquad
b(u)=\dfrac{\sqrt2\,u}{\sqrt{1+u^2}}Тогдаa′(u)=1(1+u2)32,1−a2(u)=11+u2b′(u)=2(1+u2)32,1−b2(u)=1−u21+u2\begin{aligned}
a'(u)&=\dfrac{1}{(1+u^2)^{\frac{3}{2}}},
&1-a^2(u)&=\dfrac{1}{1+u^2}\\
b'(u)&=\dfrac{\sqrt2}{(1+u^2)^{\frac{3}{2}}},
&1-b^2(u)&=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}
\end{aligned}Для функцииF(u)=−arth⁡a(u)+2 arth⁡b(u)F(u)=-\operatorname{arth}a(u)
+\sqrt2\,\operatorname{arth}b(u)получаемF′(u)=−a′(u)1−a2(u)+2b′(u)1−b2(u)==−11+u2+2(1−u2)1+u2==1+u21−u2\begin{aligned}
F'(u)
&=-\dfrac{a'(u)}{1-a^2(u)}
+\sqrt2\dfrac{b'(u)}{1-b^2(u)}=\\
&=-\dfrac1{\sqrt{1+u^2}}
+\dfrac{2}{(1-u^2)\sqrt{1+u^2}}=\\
&=\dfrac{\sqrt{1+u^2}}{1-u^2}
\end{aligned}Так как u=th⁡xu=\operatorname{th}x и u′=1−u2u'=1-u^2, тоddxF(th⁡x)=1+th⁡2x\dfrac{d}{dx}F(\operatorname{th}x)
=\sqrt{1+\operatorname{th}^2x}Следовательно, полученный ответ действительно является первообразной исходной функции.
Демидович № 2164 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика