Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2174

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int f(x)\,dx

, где

f(x)=\begin{cases}1-x^2&\text{при }|x|\le1;\\1-|x|&\text{при }|x|>1.\end{cases}

Ответ:

\int f(x)\,dx= \begin{cases} x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac16+C, & x<-1\\ x-\dfrac{x^3}{3}+C, & -1\leqslant x\leqslant1\\ x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac16+C, & x>1 \end{cases}

Постоянная

C

является общей для всех трёх ветвей.

Решение

Раскроем модуль во внешних ветвях. Тогда

f(x)= \begin{cases} 1+x, & x<-1\\ 1-x^2, & -1\leqslant x\leqslant1\\ 1-x, & x>1 \end{cases}

В средней части возьмём

F(x)=x-\frac{x^3}{3}

. В точках склеивания

F(-1)=-\dfrac23, \qquad F(1)=\dfrac23

При

x<-1

первообразная имеет вид

F_1(x)=x+\dfrac{x^2}{2}+C_1

Из непрерывности при

x=-1

получаем

-1+\dfrac12+C_1=-\dfrac23, \qquad C_1=-\dfrac16

При

x>1

первообразная имеет вид

F_3(x)=x-\dfrac{x^2}{2}+C_2

Из непрерывности при

x=1

следует

1-\dfrac12+C_2=\dfrac23, \qquad C_2=\dfrac16

Таким образом,

F(x)= \begin{cases} x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac16, & x<-1\\ x-\dfrac{x^3}{3}, & -1\leqslant x\leqslant1\\ x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac16, & x>1 \end{cases}

В точках

x=\pm1

производные соседних ветвей равны нулю и совпадают со значением

f(x)

. Поэтому получена первообразная на всей

\mathbb R