Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2160

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int x^x(1+\ln x)\,dx

Ответ:

x^x+C, \qquad x>0

Решение

Работаем при

x>0

, где стандартное определение степени с переменным показателем имеет вид

x^x=e^{x\ln x}

По правилу дифференцирования сложной функции получаем

\begin{aligned} \left(x^x\right)' &=e^{x\ln x}(x\ln x)'=\\ &=e^{x\ln x}\left(\ln x+x\cdot\dfrac1x\right)=\\ &=x^x(1+\ln x)\end{aligned}

Следовательно,

\int x^x(1+\ln x)\,dx=x^x+C