Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2143

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\ln\bigl(1+\sqrt{1+x^2}\bigr)}{\sqrt{1+x^2}}\,dx

Ответ:

(1+\sqrt{1 + x^2})\ln(1+\sqrt{1 + x^2})-\sqrt{1 + x^2}+C

Решение

Несмотря на устрашающий вид подынтегральной функции, данный интеграл решается довольно приятно в несколько несложных шагов. В первую очередь занесем

x

под дифференциал, чтобы дальше зависимость была только от

x^2

\int \frac{x \ln(1 + \sqrt{1 + x^2})}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \frac{1}{2}\int \frac{\ln(1 + \sqrt{1 + x^2})}{\sqrt{1 + x^2}} \, d(x^2)

Теперь заметим, что весь знаменатель вместе с двойкой можно тоже занести под дифференциал:

\frac{1}{2}\int \frac{\ln(1 + \sqrt{1 + x^2})}{\sqrt{1 + x^2}} \, d(x^2) = \int \ln(1+\sqrt{1 + x^2})\;d(\sqrt{1 + x^2})

В дифференциале спокойно можно добавить единичку, чтобы получить то же самое выражение, что и в аргументе логарифма. Введем замену

t=1+\sqrt{1 + x^2}

и получим совсем простой интеграл:

\int \ln t\;dt

Здесь просто нужно применить интегрирование по частям:

\int \ln t\;dt = t\ln t - \int t\cdot \frac{dt}{t}=t\ln t-t+C

Для получения итогового ответа остается сделать обратную замену.