Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2134

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2(1-x)}}

Ответ:

\ln|t+1|-\dfrac12\ln(t^2-t+1)-\sqrt3\arctg\dfrac{2t-1}{\sqrt3}+C,\qquad t=\sqrt[3]{\dfrac{1-x}{x}}

x\ne0

x\ne1

; на каждом из промежутков

(-\infty,0),\qquad(0,1),\qquad(1,+\infty)

постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Положим

t=\sqrt[3]{\frac{1-x}{x}}

. Тогда

x=\frac1{1+t^3}

\sqrt[3]{x^2(1-x)}=xt

dx=-\frac{3t^2}{(1+t^3)^2}\,dt

. Поэтому

I=-3\int\dfrac{t}{1+t^3}\,dt

Разложим дробь:

-\dfrac{3t}{1+t^3}=\dfrac1{t+1}-\dfrac{t+1}{t^2-t+1}=\dfrac1{t+1}-\dfrac{2t-1}{2(t^2-t+1)}-\dfrac3{2(t^2-t+1)}

Поскольку

t^2-t+1=(t-\frac12)^2+\frac34

, получаем

I=\ln|t+1|-\dfrac12\ln(t^2-t+1)-\sqrt3\arctg\dfrac{2t-1}{\sqrt3}+C

Здесь кубический корень понимается как действительный. Исходная функция не определена при

x=0

x=1