Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6

Демидович § 6. Примеры на интегрирование функций

Условия, ответы и подробные решения задач 2126–2180

Задачи 2126–2180

54 из 54 с разбором

Найти интегралы:

Задача 2177

Найти ∫f′(2x) dx\displaystyle\int f'(2x)\,dx.

Задача 2178

Найти f(x)f(x), если f′(x2)=1xf'(x^2)=\dfrac1x (x>0)(x>0).

Задача 2179

Найти f(x)f(x), если:

а) f′(sin⁡2x)=cos⁡2xf'(\sin^2x)=\cos^2x;

б) f′(ln⁡x)={1при 0<x≤1;xпри 1<x<+∞\displaystyle f'(\ln x)=\begin{cases}1&\text{при }0<x\le1;\\x&\text{при }1<x<+\infty\end{cases} и f(0)=0f(0)=0.

Задача 2180

Пусть f(x)f(x) --- монотонная непрерывная функция и f−1(x)f^{-1}(x) --- её обратная функция. Доказать, что если∫f(x) dx=F(x)+C,\int f(x)\,dx=F(x)+C,то∫f−1(x) dx=xf−1(x)−F(f−1(x))+C.\int f^{-1}(x)\,dx=xf^{-1}(x)-F\bigl(f^{-1}(x)\bigr)+C.Рассмотреть примеры: а) f(x)=xnf(x)=x^n (n>0)(n>0); б) f(x)=exf(x)=e^x;
в) f(x)=arcsin⁡xf(x)=\arcsin x; г) f(x)=Arth⁡xf(x)=\operatorname{Arth}x.

Задачи 51–54 из 54