Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2138

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{(1+x)\,dx}{x+\sqrt{x+x^2}}

Ответ:

-x-\dfrac{x^2}{2}+\left(\dfrac x2+\dfrac54\right)\sqrt{x^2+x}+\dfrac38\ln\left|x+\dfrac12+\sqrt{x^2+x}\right|+C

Решение

Обозначим

q=\sqrt{x^2+x}

. Подынтегральная функция определена при

x\le-1

x>0

. Рационализируя знаменатель, получаем

\dfrac{1+x}{x+q}=-(1+x)+\dfrac{(1+x)q}{x}=-1-x+q+\dfrac qx

Для

q=\sqrt{(x+\frac12)^2-\frac14}

стандартная формула даёт

\int q\,dx=\dfrac12\left(x+\dfrac12\right)q-\dfrac18\ln\left|x+\dfrac12+q\right|+C

Кроме того,

\left(q+\dfrac12\ln\left|x+\dfrac12+q\right|\right)'=\dfrac{x+1}{q}=\dfrac qx

Складывая первообразные, находим

I=-x-\dfrac{x^2}{2}+\left(\dfrac x2+\dfrac54\right)\sqrt{x^2+x}+\dfrac38\ln\left|x+\dfrac12+\sqrt{x^2+x}\right|+C

Формула действительна на обоих открытых промежутках области определения и непрерывно продолжается до

x=-1