Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2156

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\arctg x}{(1-x^2)^2}\,dx

Ответ:

\dfrac{\arctg x}{2(1-x^2)}-\dfrac18\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|-\dfrac14\arctg x+C

Решение

Интегрируем по частям:

u=\arctg x

dv=\frac{x\,dx}{(1-x^2)^2}

. Тогда

du=\frac{dx}{1+x^2}

v=\frac1{2(1-x^2)}

. Следовательно,

I=\dfrac{\arctg x}{2(1-x^2)}-\dfrac12\int\dfrac{dx}{(1-x^2)(1+x^2)}

Используем разложение

\dfrac1{(1-x^2)(1+x^2)}=\dfrac12\left(\dfrac1{1-x^2}+\dfrac1{1+x^2}\right)

Отсюда

I=\dfrac{\arctg x}{2(1-x^2)}-\dfrac18\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|-\dfrac14\arctg x+C

Формула применяется на каждом промежутке, не содержащем

x=\pm1