Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2167

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2167

∫x∣x∣ dx\displaystyle\int x|x|\,dx.
Ответ:∣x∣33+C,x∈R\dfrac{|x|^3}{3}+C,
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Имеемx∣x∣={−x2,x<0x2,x⩾0x|x|=
\begin{cases}
-x^2, & x<0\\
x^2, & x\geqslant0
\end{cases}На этих промежутках первообразные равны −x33+C−-\frac{x^3}{3}+C_- и x33+C+\frac{x^3}{3}+C_+. Для непрерывности в нуле необходимо C−=C+C_-=C_+. Выбирая общую постоянную равной нулю, получаемF(x)=∣x∣33F(x)=\dfrac{|x|^3}{3}При x>0x>0 получаем F′(x)=x2=x∣x∣F'(x)=x^2=x|x|, а при x<0x<0 имеем F(x)=−x33F(x)=-\frac{x^3}{3} и F′(x)=−x2=x∣x∣F'(x)=-x^2=x|x|. В точке x=0x=0F′(0)=lim⁡h→0∣h∣33h=0F'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{|h|^3}{3h}=0Таким образом, найденная функция является первообразной на всей числовой прямой.
Демидович № 2167 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика