Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2129

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt x+\sqrt[3]x}

Ответ:

2\sqrt x-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln|1+\sqrt[6]{x}|+C

Решение

Для начала сделаем подходящую замену, чтобы свести задачу к нахождению первообразной от рациональной функции. Чтобы ушли оба корня, введем переменную

t=\sqrt[6]{x}

. При такой замене будем иметь:

x= t^6\quad\text{и}\quad dx=6t^5\,dt

Подставим все в интеграл:

\int \frac{6t^5\;dt}{t^2+t^3} = 6\int \frac{t^3\;dt}{1+t}

В полученном интеграле нужно выделить целую часть:

\frac{t^3}{1+t} =\frac{t^3+t^2-t^2}{1+t}=t^2-\frac{t^2}{1+t}=\ldots =t^2-t+1-\frac{1}{1+t}

Остается только взять интеграл от каждого слагаемого. Так как они все являются табличными, сразу запишем ответ через переменную

t

6\int \frac{t^3\;dt}{1+t} = 2t^3-3t^2+6t-6\ln|1+t|+C

Для итогового ответа остается только сделать обратную замену.