Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2159

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int x(1+x^2)\arcctg x\,dx

Ответ:

\left(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{4}\right) \operatorname{arcctg} x +\dfrac{x^3}{12}+\dfrac{x}{4} -\dfrac14\arctg x+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Пусть

I

— исходный интеграл. Подынтегральная функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Применим интегрирование по частям:

\begin{aligned} u&=\operatorname{arcctg} x, &dv&=x(1+x^2)\,dx,\\ du&=-\dfrac{dx}{1+x^2}, &v&=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{4}\end{aligned}

Получаем

\begin{aligned} I &=\left(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{4}\right) \operatorname{arcctg} x +\int\dfrac{\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}}{1+x^2}\,dx\end{aligned}

Для рациональной дроби используем тождество

x^4+2x^2=(1+x^2)^2-1

. Поэтому

\begin{aligned} \dfrac{\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}}{1+x^2} &=\dfrac{x^4+2x^2}{4(1+x^2)}=\\ &=\dfrac{1+x^2}{4}-\dfrac{1}{4(1+x^2)}\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} I &=\left(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{4}\right) \operatorname{arcctg} x +\dfrac{x^3}{12}+\dfrac{x}{4} -\dfrac14\arctg x+C\end{aligned}