Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2173

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2173

∫[x]∣sin⁡πx∣ dx\displaystyle\int[x]|\sin\pi x|\,dx (x≥0)(x\ge0).
Ответ:При x⩾0x\geqslant0 и n=[x]n=[x]∫[x]∣sin⁡(πx)∣ dx=nπ(n−(−1)ncos⁡(πx))+C\int[x]|\sin(\pi x)|\,dx
=\dfrac n\pi\bigl(n-(-1)^n\cos(\pi x)\bigr)+C

Решение

По условию x⩾0x\geqslant0. Обозначение [x][x] означает целую часть числа: наибольшее целое, не превосходящее xx. Пусть n=[x]n=[x], тогда n∈Z⩾0n\in\mathbb Z_{\geqslant0} и n⩽x<n+1n\leqslant x<n+1. На этом промежутке[x]=n,∣sin⁡(πx)∣=(−1)nsin⁡(πx)[x]=n,
\qquad
|\sin(\pi x)|=(-1)^n\sin(\pi x)Чтобы обосновать раскрытие модуля, положим t=x−nt=x-n, где 0⩽t<10\leqslant t<1. Тогдаsin⁡(πx)=sin⁡(πn+πt)=(−1)nsin⁡(πt),sin⁡(πt)⩾0\sin(\pi x)=\sin(\pi n+\pi t)=(-1)^n\sin(\pi t),
\qquad \sin(\pi t)\geqslant0Следовательно, ∣sin⁡(πx)∣=(−1)nsin⁡(πx)|\sin(\pi x)|=(-1)^n\sin(\pi x). На промежутке n⩽x<n+1n\leqslant x<n+1 первообразная имеет видFn(x)=−n(−1)nπcos⁡(πx)+CnF_n(x)=-\dfrac{n(-1)^n}{\pi}\cos(\pi x)+C_nВ целой точке n⩾1n\geqslant1 значение этой ветви должно совпадать со значением предыдущей ветви. Используя равенствоcos⁡(πn)=(−1)n\cos(\pi n)=(-1)^nполучаемFn(n)=−n(−1)nπcos⁡(πn)+Cn=−nπ+CnFn−1(n)=−(n−1)(−1)n−1πcos⁡(πn)+Cn−1=n−1π+Cn−1\begin{aligned}
F_n(n)
&=-\dfrac{n(-1)^n}{\pi}\cos(\pi n)+C_n
=-\dfrac n\pi+C_n\\
F_{n-1}(n)
&=-\dfrac{(n-1)(-1)^{n-1}}{\pi}\cos(\pi n)+C_{n-1}
=\dfrac{n-1}{\pi}+C_{n-1}
\end{aligned}Поэтому условие непрерывности имеет вид−nπ+Cn=n−1π+Cn−1\begin{aligned}
-\dfrac n\pi+C_n
&=\dfrac{n-1}{\pi}+C_{n-1}
\end{aligned}ОтсюдаCn=Cn−1+2n−1πC_n=C_{n-1}+\dfrac{2n-1}{\pi}Выберем C0=0C_0=0. Поскольку сумма первых nn нечётных чисел равна n2n^2, получаемCn=1π∑j=1n(2j−1)=n2πC_n=\dfrac1\pi\sum_{j=1}^{n}(2j-1)=\dfrac{n^2}{\pi}Следовательно, при n⩽x<n+1n\leqslant x<n+1F(x)=nπ(n−(−1)ncos⁡(πx))F(x)=\dfrac n\pi\bigl(n-(-1)^n\cos(\pi x)\bigr)В целых точках n⩾1n\geqslant1 соседние формулы принимают одинаковые значения. Их односторонние производные равны нулю, как и исходная функция, поэтому склейка дифференцируема. В граничной точке x=0x=0 правая производная равнаF+′(0)=0=[0]∣sin⁡(π⋅0)∣F'_+(0)=0=[0]|\sin(\pi\cdot0)|что совпадает со значением подынтегральной функции. Следовательно, полученная функция является первообразной при x⩾0x\geqslant0.
Демидович № 2173 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика