Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2146

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(2+\sin x)^2}

Ответ:При

(2k-1)\pi<x<(2k+1)\pi

k\in\mathbb Z

, и

t=\tg\dfrac x2

\dfrac{4}{3\sqrt3}\left[\arctg\dfrac{2t+1}{\sqrt3}+k\pi\right]+\dfrac{t+2}{6(1+t+t^2)}+C

Согласованные ветви непрерывно продолжаются через точки

x=(2k+1)\pi

Решение

Подынтегральная функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Положим

t=\tg\dfrac x2,\qquaddx=\dfrac{2\,dt}{1+t^2},\qquad\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}

На промежутке

(2k-1)\pi<x<(2k+1)\pi

получаем

I=\dfrac12\int\dfrac{1+t^2}{(1+t+t^2)^2}\,dt

Разложение

\dfrac{1+t^2}{(1+t+t^2)^2}=\dfrac1{1+t+t^2}-\dfrac{2t+1}{2(1+t+t^2)^2}+\dfrac1{2(1+t+t^2)^2}

после интегрирования даёт

I=\dfrac{4}{3\sqrt3}\left[\arctg\dfrac{2t+1}{\sqrt3}+k\pi\right]+\dfrac{t+2}{6(1+t+t^2)}+C

Добавка

k\pi

согласует ветви арктангенса и задаёт одну первообразную на всей числовой прямой.