Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2132

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\sqrt{\frac{x}{1-x\sqrt x}}\,dx

Ответ:

-\frac{4}{3}\sqrt{1-x\sqrt{x}}+C

0\leqslant x<1.

Решение

Подынтегральная функция определена при

0\leqslant x<1

. Сделаем замену

t=\sqrt{x}

, чтобы под корнем осталась только рациональная функция. Вычислим все необходимое:

t=\sqrt x,\quad x=t^2\quad\text{и}\quad dx=2t\;dt

Подставим в интеграл:

\int \sqrt{\frac{t^2}{1-t^3}}\cdot 2t\;dt

Вынесем

t^2

из под корня:

\int \sqrt{\frac{t^2}{1-t^3}}\cdot 2t\;dt = \int \frac{2t^2}{\sqrt{1-t^3}}\;dt

Осталось заметить, что можем занести

t^2

под дифференциал, добившись там подкоренного выражения:

\int \frac{2t^2}{\sqrt{1-t^3}}\;dt = -\frac{2}{3}\int \frac{d(1-t^3)}{\sqrt{1-t^3}}

Последний интеграл является табличным:

-\frac{2}{3}\int \frac{d(1-t^3)}{\sqrt{1-t^3}}=-\frac{4}{3}\sqrt{1-t^3}+C

Для окончательного ответа остается только сделать обратную замену.