Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2128

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2128

\displaystyle\int\frac{dx}{1+x^4+x^8}

Ответ:

\frac{1}{2\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} +\frac{1}{2\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \frac{2x + 1}{\sqrt{3}}+ \frac{1}{4\sqrt{3}}\ln\left| \frac{x^2+\sqrt 3x+1}{x^2-\sqrt 3x+1}\right|+C

Решение

Так как мы имеем дело с интегралом от рациональной функции, нам не нужно выдумать новый способ решения, достаточно просто воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Основная сложность лишь в том, чтобы разложить знаменатель на неприводимые множители.

Для этого можно использовать следующий трюк: представить многочлен в виде разности квадратов. Тогда пользуясь этой формулой сможем получить разложение на два множителя. В нашем случае:

1+x^4+x^8 = (x^4+1)^2-(x^2)^2=(x^4-x^2+1)(x^4+x^2+1)

Аналогично поступим с полученным вторым множителем:

x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2-x+1)(x^2+x+1)

У полученных квадратных многочленов дискриминант меньше нуля, а значит, они являются неприводимыми.

Вернемся к оставшемуся множителю:

x^4-x^2+1=(x^2+1)^2-3x^2=(x^2-\sqrt 3x+1)(x^2-\sqrt 3x+1)

Нетрудно убедиться в том, что и здесь полученные множители будут неприводимы.

Переходим непосредственно к методу неопределенных коэффициентов. Имеем:

\frac{1}{1+x^4+x^8} = \frac{A_1x+B_1}{x^2-\sqrt 3x+1}+\frac{A_2x+B_2}{x^2+\sqrt 3x+1}+\frac{A_3x+B_3}{x^2-x+1}+\frac{A_4x+B_4}{x^2+x+1}

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем:

A_1= -A_2=-\frac{1}{2\sqrt 3}\quad \text{и}\quad B_1=B_2=\frac{1}{4}

Для третьего и 4 слагаемых будем иметь:

A_3=A_4=0\quad\text{и}\quad B_3=B_4=\frac{1}{4}

Остается только проинтегрировать каждое слагаемое.

Последние два интеграла будут сводиться к арктангенсу выделением полного квадрата. Покажем сначала первый из них:

\frac{1}{4}\int \frac{dx}{x^2-x+1}=\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x-0,5)^2+3/4} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} + C

Аналогичным образом:

\frac{1}{4}\int \frac{dx}{x^2+x+1}=\frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x+0,5)^2+3/4} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \operatorname{arctg} \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + C

Рассмотрим оставшиеся два интеграла. Первый:

-\frac{1}{4\sqrt 3}\int \frac{(2x-\sqrt 3)\;dx}{x^2-\sqrt 3x+1}=-\frac{1}{4\sqrt 3}\int \frac{d(x^2-\sqrt 3x+1)}{x^2-\sqrt 3x+1}= -\frac{1}{4\sqrt 3}\ln |x^2-\sqrt 3x+1|+C

Аналогично:

\frac{1}{4\sqrt 3}\int \frac{(2x+\sqrt 3)\;dx}{x^2+\sqrt 3x+1}= \frac{1}{4\sqrt 3}\ln|x^2+\sqrt 3x+1|+C

Суммируем все найденные интегралы и получаем ответ. Для более компактной записи используем, что разность логарифмов равна логарифму частного.