Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2171

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2171

∫max⁡(1,x2) dx\displaystyle\int\max(1,x^2)\,dx.
Ответ:∫max⁡(1,x2) dx={x33−23+C,x<−1x+C,−1⩽x⩽1x33+23+C,x>1\int\max(1,x^2)\,dx=
\begin{cases}
\dfrac{x^3}{3}-\dfrac23+C, & x<-1\\
x+C, & -1\leqslant x\leqslant1\\
\dfrac{x^3}{3}+\dfrac23+C, & x>1
\end{cases}Здесь CC — одна общая постоянная для всех трёх ветвей; независимые постоянные нарушили бы согласованность первообразной на R\mathbb R.

Решение

Подынтегральная функция имеет видmax⁡(1,x2)={x2,x<−11,−1⩽x⩽1x2,x>1\max(1,x^2)=
\begin{cases}
x^2, & x<-1\\
1, & -1\leqslant x\leqslant1\\
x^2, & x>1
\end{cases}Первообразная должна быть дифференцируема, а значит, непрерывна. Поэтому после интегрирования ветвей согласуем их значения в точках x=−1x=-1 и x=1x=1. В средней части удобно взять F(x)=xF(x)=x: одну общую произвольную постоянную добавим ко всей функции в конце. Тогда F(−1)=−1F(-1)=-1 и F(1)=1F(1)=1.

При x<−1x<-1 первообразная имеет вид x33+C1\frac{x^3}{3}+C_1. Из условия непрерывности в точке x=−1x=-1 получаем−13+C1=−1,C1=−23-\dfrac13+C_1=-1,
\qquad
C_1=-\dfrac23При x>1x>1 аналогично13+C2=1,C2=23\dfrac13+C_2=1,
\qquad
C_2=\dfrac23В точках склеивания производные соседних выражений равны единице, что совпадает со значением подынтегральной функции. Поэтому найденная кусочная функция является первообразной на всей R\mathbb R.
Демидович № 2171 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика