Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2147

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2147

\displaystyle\int\frac{\sin4x}{\sin^8x+\cos^8x}\,dx

Ответ:

-\frac{1}{\sqrt 2}\ln\left| \frac{\cos 4x+7-4\sqrt 2}{\cos 4x+7+4\sqrt 2}\right|+C

Решение

Самым очевидным способом решения было бы сделать замену

t=\sin x

или

t=\cos x

и получить интеграл от рациональной функции. Однако данный процесс был бы довольно долгим и неприятным. Вместо этого мы попробуем преобразовать знаменатель, чтобы он зависел от

\cos4x

. Тогда наш числитель будет удобно занести под дифференциал и получить простые интегралы. Покажем это.

В первую очередь, понизим степень выражения в знаменателе:

\sin^8 x+\cos ^8x = \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^4+\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^4

После раскрытия скобок слагаемые с косинусом в нечетной степени сократятся, а в четной -- удвоятся. В результате получим:

\frac{1}{8}(1+6\cos^2 2x+\cos^4 2x)

Еще раз понизим степень:

\frac{1}{8}\left(1+6\cdot \left(\frac{1+\cos 4x}{2}\right) +\left(\frac{1+\cos 4x}{2}\right)^2\right)

Раскрываем скобки и получаем:

\frac{1}{32}\left( 17+14\cos 4x+\cos^2 4x\right)

Подставляем в исходный интеграл:

\int \frac{32 \sin 4x}{ 17+14\cos 4x+\cos^2 4x}\;dx = -8\int \frac{d(\cos 4x)}{ 17+14\cos 4x+\cos^2 4x}

Далее обозначим

t=\cos 4x

для компактности записи. Наш полученный интеграл сведем к табличному путем выделения полного квадрата:

\int \frac{dt}{ 17+14t+t^2} = \int \frac{d(t+7)}{(t+7)^2-32} = \frac{1}{8\sqrt 2}\ln\left| \frac{t+7-4\sqrt 2}{t+7+4\sqrt 2}\right|+C

Для окончательного ответа остается только вернуться к переменной

x

и домножить на коэффициент

-8