Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2139

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2139

\displaystyle\int\frac{\ln(1+x+x^2)}{(1+x)^2}\,dx

Ответ:

-\frac{\ln(1+x+x^2)}{1+x}-\ln|1+x|+\frac{1}{2}\ln|1+x+x^2|+\sqrt 3 \arctg \left(\frac{2x+1}{\sqrt 3}\right)+C

Решение

Мы можем занести знаменатель нашего выражения под дифференциал, после чего применить формулу интегрирования по частям. В таком случае под дифференциалом уже окажется логарифм, который пропадет при вынесении производной. В результате останется только интеграл от рациональной функции, решить который не составляет труда. Покажем все наши действия.

Начнем с занесения под дифференциал:

\int \frac{\ln(1+x+x^2)}{(1+x)^2}\;dx = \int \ln(1+x+x^2)\; d\left(-\frac{1}{1+x}\right)

Берем по частям и получаем:

-\frac{\ln(1+x+x^2)}{1+x}-\int -\frac{1}{1+x} \;d(\ln(1+x+x^2))

Выносим производную логарифма из под дифференциала и минус за скобки:

-\frac{\ln(1+x+x^2)}{1+x}+\int \frac{1}{1+x} \cdot \frac{2x+1}{1+x+x^2}\;dx

Далее остается только рассмотреть второй интеграл. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, чтобы разбить подынтегральное выражение на простые дроби:

\frac{2x+1}{(1+x)(1+x+x^2)} = \frac{A}{1+x}+\frac{Bx+C}{1+x+x^2}

Соответствующее уравнение для коэффициентов будет:

A(1+x+x^2)+(Bx+C)(1+x)=2x+1

Приравнивая множители при соответствующих степенях, получим:

A=-1,\quad B=1\quad\text{и}\quad C=2

Теперь надо найти интеграл от каждого из слагаемых. Найти первый не составляет труда, так как он является табличным:

-\int \frac{dx}{1+x}=-\int \frac{d(1+x)}{1+x}=-\ln|1+x|+C

Второй также является классическим: необходимо разбить выражение на два слагаемых, в одном из которых будем заносить числитель под дифференциал, а в другом получать арктангенс. Покажем это:

\int \frac{x+2}{1+x+x^2}\;dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x+1}{1+x+x^2}\;dx+\frac {3}{2}\int \frac{dx}{1+x+x^2}

Как уже было сказано выше, в первом слагаемом надо занести числитель под дифференциал:

\frac{1}{2}\int \frac{2x+1}{1+x+x^2}\;dx = \frac{1}{2}\int \frac{d(1+x+x^2)}{1+x+x^2} = \frac{1}{2}\ln|1+x+x^2|+C

Во втором слагаемом получаем формулу арктангенса при выделении полного квадрата:

\frac {3}{2}\int \frac{dx}{1+x+x^2} = \frac {3}{2}\int \frac{d(x+0,5)}{(x+0,5)^2+3/4}=\sqrt 3 \arctg \left(\frac{2x+1}{\sqrt 3}\right)+C

Суммируем все промежуточные результаты и получаем итоговый ответ.