Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2172

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2172

∫φ(x) dx\displaystyle\int\varphi(x)\,dx, где φ(x)\varphi(x) --- расстояние числа xx до ближайшего целого числа.
Ответ:Для n∈Zn\in\mathbb Z∫φ(x) dx={n4+(x−n)22+C,n⩽x⩽n+12n+14−(n+1−x)22+C,n+12⩽x⩽n+1\int\varphi(x)\,dx=
\begin{cases}
\dfrac n4+\dfrac{(x-n)^2}{2}+C,
& n\leqslant x\leqslant n+\dfrac12\\
\dfrac{n+1}{4}-\dfrac{(n+1-x)^2}{2}+C,
& n+\dfrac12\leqslant x\leqslant n+1
\end{cases}Постоянная CC является общей для всех ветвей.

Решение

На каждом отрезке [n;n+1][n;n+1], где n∈Zn\in\mathbb Z, расстояние до ближайшего целого числа равноφ(x)={x−n,n⩽x⩽n+12n+1−x,n+12⩽x⩽n+1\varphi(x)=
\begin{cases}
x-n, & n\leqslant x\leqslant n+\dfrac12\\
n+1-x, & n+\dfrac12\leqslant x\leqslant n+1
\end{cases}На первой половине отрезка первообразная имеет видF1(x)=(x−n)22+AnF_1(x)=\dfrac{(x-n)^2}{2}+A_nа на второй половинеF2(x)=−(n+1−x)22+BnF_2(x)=-\dfrac{(n+1-x)^2}{2}+B_nСогласование этих выражений при x=n+12x=n+\frac12 даётAn+18=Bn−18,Bn=An+14A_n+\dfrac18=B_n-\dfrac18,
\qquad
B_n=A_n+\dfrac14В точке x=n+1x=n+1 значение второй ветви равно BnB_n, а значение первой ветви следующего отрезка равно An+1A_{n+1}. ПоэтомуAn+1=Bn=An+14A_{n+1}=B_n=A_n+\dfrac14Выберем A0=0A_0=0. Тогда An=n4A_n=\frac n4 и Bn=n+14B_n=\frac{n+1}{4} при n⩾0n\geqslant0. Для отрицательных индексов используем обратную рекурсиюAn=An+1−14A_n=A_{n+1}-\dfrac14поэтому формула An=n4A_n=\frac n4 справедлива для всех n∈Zn\in\mathbb Z. В точках x=n+12x=n+\frac12 производные обеих ветвей равны 12\frac12, а в целых точках соседние производные равны нулю. Следовательно, ветви образуют одну первообразную на всей числовой прямой.
Демидович № 2172 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика