Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2152

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2152

\displaystyle\int\frac{x\arctg x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx

Ответ:

\arctg x \sqrt{1+x^2}-\ln|x+\sqrt{1+x^2}|+C

Решение

Необходимо использовать формулу интегрирования по частям, чтобы избавиться от арктангенса. Для этого остальные множители внесем под дифференциал. Нетрудно видеть, что

\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\;dx = d(\sqrt{1+x^2})

Тогда имеем:

\int \frac{x \arctg x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \int \arctg x \;d(\sqrt{1+x^2})

Применим формулу интегрирования по частям:

\arctg x \sqrt{1+x^2} - \int \sqrt{1+x^2}\;d(\arctg x)

Выносим производную из под дифференциала:

\arctg x \sqrt{1+x^2} - \int \sqrt{1+x^2}\cdot \frac{dx}{1+x^2}

Отдельно рассмотрим последнее слагаемое. Упростим подынтегральное выражение и получим:

\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}

Здесь явно видна формула "длинного" логарифма:

\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \ln|x+\sqrt{1+x^2}|+C

Остается только записать итоговый ответ.