Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2148

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2148

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x\sqrt{1+\cos x}}

Ответ:

\frac{1}{\sqrt{1+\cos x}}+ \frac{1}{2\sqrt 2}\ln \left| \frac{\sqrt{1+\cos x}-\sqrt 2}{\sqrt{1+\cos x}+\sqrt 2}\right|+C

Решение

Для начала домножим числитель и знаменатель на синус, в таком случае сможем занести его под дифференциал и перейти к зависимости только от косинуса:

\int \frac{dx}{\sin x \sqrt{1+\cos x}}=\int \frac{\sin x\;dx}{\sin^2 x \sqrt{1+\cos x}} = -\int\frac{d(\cos x)}{(1-\cos^2 x) \sqrt{1+\cos x}}

Для удобства обозначим

t= \cos x

, чтобы интеграл выглядел менее громоздко:

-\int \frac{dt}{(1-t^2)\sqrt{1+t}}

Теперь перейдем от полученного интеграла к задаче нахождения первообразной от рациональной функции. Для этого потребуется избавиться от корня. С этим нам поможет замена

u=\sqrt{t+1}

. Получим:

u=\sqrt{t+1},\quad t =u^2-1\quad\text{и}\quad dt = 2u \;du

Подставляем в интеграл:

-\int \frac{2u\;du}{(1-(u^2-1)^2)u} = -\int \frac{2\;du}{2u^2-u^4}=\int \frac{-2\;du}{u^2(2-u^2)}

Полученную подынтегральную функцию нужно разложить на простые дроби. Вместо метода неопределенных коэффициентов заметим, что имеет место равенство:

u^2+(2-u^2)=2

Для нас это значит, что справедливым будет следующее:

\frac{1}{u^2}+\frac{1}{2-u^2} = \frac{2}{u^2(2-u^2)}

Как раз получили требуемую функцию, только с противоположным знаком. Значит, интеграл будет следующим:

\int \frac{-2\;du}{u^2(2-u^2)} = -\int \frac{du}{u^2}-\int \frac{du}{2-u^2} = \frac{1}{u}+\frac{1}{2\sqrt 2}\ln \left| \frac{u-\sqrt 2}{u+\sqrt 2}\right|+C

Осталось сделать обратную замену переменных.