Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2153

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2153

∫sin⁡2x1+cos⁡4x dx\displaystyle\int\frac{\sin2x}{\sqrt{1+\cos^4x}}\,dx.
Ответ:−ln⁡(cos⁡2x+1+cos⁡4x)+C-\ln\left(\cos^2x+\sqrt{1+\cos^4x}\right)+C

Решение

Положим t=cos⁡2xt=\cos^2x. Тогда dt=−sin⁡2x dxdt=-\sin2x\,dx, а cos⁡4x=t2\cos^4x=t^2. ПоэтомуI=−∫dt1+t2=−ln⁡(t+1+t2)+CI=-\int\dfrac{dt}{\sqrt{1+t^2}}=-\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)+CВозвращаясь к xx, получаемI=−ln⁡(cos⁡2x+1+cos⁡4x)+CI=-\ln\left(\cos^2x+\sqrt{1+\cos^4x}\right)+CАргумент логарифма положителен, и формула справедлива при всех действительных xx.
Демидович № 2153 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика