Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2163

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(e^{x+1}+1)^2-(e^{x-1}+1)^2}

Ответ:

\dfrac{\operatorname{ch}1\, \ln\bigl(e^{-x}+\operatorname{ch}1\bigr)-e^{-x}} {4\operatorname{sh}1}+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Пусть

I

— исходный интеграл. Используем обозначения

\operatorname{sh}1=\frac{e-e^{-1}}2

\operatorname{ch}1=\frac{e+e^{-1}}2

. Разность квадратов в знаменателе преобразуем так:

\begin{aligned} &(e^{x+1}+1)^2-(e^{x-1}+1)^2=\\ &\quad=(e^{x+1}-e^{x-1})(e^{x+1}+e^{x-1}+2)=\\ &\quad=4e^x\operatorname{sh}1\bigl(1+e^x\operatorname{ch}1\bigr)\end{aligned}

Все множители в последнем выражении положительны, поэтому интеграл определён при всех

x\in\mathbb R

. Обозначим

c=\operatorname{ch}1

и положим

t=e^{-x}

. Тогда

t>0, \qquad dt=-e^{-x}\,dx, \qquad e^x=\dfrac1t, \qquad 1+ce^x=\dfrac{t+c}{t}

Кроме того,

t+c>0

, поэтому модуль в логарифме не потребуется. Чтобы интегрировать рациональную дробь, используем

t=(t+c)-c

, то есть

\frac{t}{t+c}=1-\frac{c}{t+c}

. Последовательно получаем

\begin{aligned} I &=\dfrac{1}{4\operatorname{sh}1} \int\dfrac{e^{-x}\,dx}{1+ce^x}=-\dfrac{1}{4\operatorname{sh}1} \int\dfrac{dt}{1+\frac ct}=\\ &=-\dfrac{1}{4\operatorname{sh}1} \int\dfrac{t}{t+c}\,dt=-\dfrac{1}{4\operatorname{sh}1} \int\left(1-\dfrac{c}{t+c}\right)dt=\\ &=\dfrac{c\ln(t+c)-t}{4\operatorname{sh}1}+C\end{aligned}

Возвращаясь к

x

c=\operatorname{ch}1

, обозначим полученную функцию без постоянной через

G

. Проверим результат:

\begin{aligned} G'(x) &=\dfrac{1}{4\operatorname{sh}1} \left(-\dfrac{ce^{-x}}{e^{-x}+c}+e^{-x}\right)=\\ &=\dfrac{1}{4e^x\operatorname{sh}1(1+ce^x)}\end{aligned}

Полученная производная совпадает с исходной дробью.