Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2162

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{\arctg e^{x/2}}{e^{x/2}(1+e^x)}\,dx

Ответ:

-2e^{-\frac{x}{2}}\arctg(e^{\frac{x}{2}}) +x-\ln(1+e^x) -\bigl(\arctg(e^{\frac{x}{2}})\bigr)^2+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Подынтегральная функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Положим

t=e^{\frac{x}{2}}, \qquad dx=\dfrac{2\,dt}{t}, \qquad t>0

Тогда

\dfrac{1}{t^2(1+t^2)} =\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{1+t^2}

Поэтому

\begin{aligned} I &=\int\dfrac{\arctg(e^{\frac{x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}}(1+e^x)}\,dx=\\ &=2\int\dfrac{\arctg t}{t^2(1+t^2)}\,dt=\\ &=2\int\dfrac{\arctg t}{t^2}\,dt -2\int\dfrac{\arctg t}{1+t^2}\,dt\end{aligned}

Для первого интеграла применим интегрирование по частям, выбрав

u=\arctg t, \qquad dv=\dfrac{dt}{t^2}, \qquad du=\dfrac{dt}{1+t^2}, \qquad v=-\dfrac1t

Поскольку

t=e^{\frac{x}{2}}>0

, модуль в

\ln t

не требуется. Получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{\arctg t}{t^2}\,dt &=-\dfrac{\arctg t}{t} +\int\dfrac{dt}{t(1+t^2)}=\\ &=-\dfrac{\arctg t}{t} +\ln t-\dfrac12\ln(1+t^2)+C\end{aligned}

Здесь использовано разложение

\dfrac{1}{t(1+t^2)} =\dfrac1t-\dfrac{t}{1+t^2}

Во втором интеграле положим

y=\arctg t

. Тогда

dy=\frac{dt}{1+t^2}

\int\dfrac{\arctg t}{1+t^2}\,dt =\int y\,dy =\dfrac12y^2+C =\dfrac12(\arctg t)^2+C

При обратной замене используем

\ln t=\frac{x}{2}

t^2=e^x

. Подставляя оба результата, получаем

\begin{aligned} I &=-\dfrac{2\arctg t}{t}+2\ln t-\ln(1+t^2) -(\arctg t)^2+C=\\ &=-2e^{-\frac{x}{2}}\arctg(e^{\frac{x}{2}}) +x-\ln(1+e^x) -\bigl(\arctg(e^{\frac{x}{2}})\bigr)^2+C\end{aligned}