Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2168

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int(x+|x|)^2\,dx

Ответ:

\dfrac{(x+|x|)^3}{6}+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Раскрывая модуль, получаем

(x+|x|)^2= \begin{cases} 0, & x<0\\ 4x^2, & x\geqslant0 \end{cases}

Интегрируя отдельно, получаем

C_-

при

x<0

\frac{4x^3}{3}+C_+

при

x>0

. Непрерывность в нуле требует

C_-=C_+

. При нулевой общей постоянной эти выражения объединяются в функцию

F(x)=\dfrac{(x+|x|)^3}{6}

Действительно, при

x<0

имеем

F(x)=0

, а при

x>0

F(x)=\dfrac{4x^3}{3}, \qquad F'(x)=4x^2

В точке

x=0

разностное отношение равно нулю при

h<0

и равно

\frac{4h^2}{3}

при

h>0

, поэтому

F'(0)=0

. Следовательно, формула верна на всей числовой прямой.