Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2170

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2170

∫e−∣x∣ dx\displaystyle\int e^{-|x|}\,dx.
Ответ:{ex+C,x<02−e−x+C,x⩾0x∈R\begin{cases}
e^x+C, & x<0\\
2-e^{-x}+C, & x\geqslant0
\end{cases}
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Раскроем модуль в показателе степени:e−∣x∣={ex,x<0e−x,x⩾0e^{-|x|}=
\begin{cases}
e^x, & x<0\\
e^{-x}, & x\geqslant0
\end{cases}На двух промежутках первообразные имеют видF−(x)=ex+C−,F+(x)=−e−x+C+F_-(x)=e^x+C_-,
\qquad
F_+(x)=-e^{-x}+C_+Чтобы получить одну первообразную на всей числовой прямой, согласуем постоянные в точке x=0x=0. Непрерывность требует1+C−=−1+C+,C+=C−+21+C_-=-1+C_+,
\qquad C_+=C_-+2Выбирая C−=0C_-=0, получаем C+=2C_+=2 иF(x)={ex,x<02−e−x,x⩾0F(x)=
\begin{cases}
e^x, & x<0\\
2-e^{-x}, & x\geqslant0
\end{cases}Проверим производную в точке склейки по определению. Поскольку F(0)=1F(0)=1, получаемF−′(0)=lim⁡h→0−eh−1h=1F+′(0)=lim⁡h→0+1−e−hh=1\begin{aligned}
F'_-(0)&=\lim_{h\to0^-}\dfrac{e^h-1}{h}=1\\
F'_+(0)&=\lim_{h\to0^+}\dfrac{1-e^{-h}}{h}=1
\end{aligned}Здесь использован предел lim⁡t→0et−1t=1\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1. Односторонние производные равны, поэтому F′(0)=1F'(0)=1.

Следовательно, F′(x)=e−∣x∣F'(x)=e^{-|x|} при всех x∈Rx\in\mathbb R.
Демидович № 2170 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика