Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2130

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2130

∫x2x1−x dx\displaystyle\int x^2\sqrt{\frac x{1-x}}\,dx.
Ответ:−8x2+10x+1524x(1−x)+58arctg⁡x1−x+C,0<x<1-\dfrac{8x^2+10x+15}{24}\sqrt{x(1-x)}
+\dfrac58\arctg\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}+C,
\qquad 0<x<1

Решение

Подынтегральная функция определена при 0<x<10<x<1. Положимt=x1−xt=\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}Тогдаx=t21+t2,dx=2t(1+t2)2 dtx=\dfrac{t^2}{1+t^2},
\qquad
dx=\dfrac{2t}{(1+t^2)^2}\,dtиI=2∫t6(1+t2)4 dtI=2\int\dfrac{t^6}{(1+t^2)^4}\,dtИспользуем тождество2t6(1+t2)4=21+t2−6(1+t2)2+6(1+t2)3−2(1+t2)4\dfrac{2t^6}{(1+t^2)^4}
=\dfrac{2}{1+t^2}
-\dfrac{6}{(1+t^2)^2}
+\dfrac{6}{(1+t^2)^3}
-\dfrac{2}{(1+t^2)^4}Последовательно применяя стандартную формулу пониженияJn=∫dt(1+t2)n=t2(n−1)(1+t2)n−1+2n−32(n−1)Jn−1,J_n=\int\dfrac{dt}{(1+t^2)^n}
=\dfrac{t}{2(n-1)(1+t^2)^{n-1}}
+\dfrac{2n-3}{2(n-1)}J_{n-1},получаемI=−t3(1+t2)3+13t12(1+t2)2−11t8(1+t2)+58arctg⁡t+CI=-\dfrac{t}{3(1+t^2)^3}
+\dfrac{13t}{12(1+t^2)^2}
-\dfrac{11t}{8(1+t^2)}
+\dfrac58\arctg t+CПосле возвращения к переменной xx рациональные слагаемые объединяются:I=−8x2+10x+1524x(1−x)+58arctg⁡x1−x+CI=-\dfrac{8x^2+10x+15}{24}\sqrt{x(1-x)}
+\dfrac58\arctg\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}+C
Демидович № 2130 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика