Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2155

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2155

\displaystyle\int\frac{x^4\arctg x}{1+x^2}\,dx

Ответ:

\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\arctg x -\frac{x^2}{6}+\frac{2}{3}\ln|1+x^2|+\frac{\arctg ^2x}{2}+C

Решение

Вновь используем ту же идею, что и в номере 2154 -- интегрируем по частям, чтобы избавиться от арктангенса. Однако, мы не будем делать это сразу. В первую очередь выделим целую часть в рациональной дроби:

\frac{x^4}{1+x^2} = x^2-1+\frac{1}{1+x^2}

Так как последнее слагаемое является производной от

\arctg x

, нам будет удобно разбить интеграл и применить интегрирование по частям только к первому:

\int \frac{x^4\arctg x}{1+x^2}\;dx = \int (x^2-1)\arctg x\;dx+\int \frac{\arctg x}{1+x^2}\;dx

Для решения второго интеграла достаточно просто внести множитель под дифференциал:

\int \frac{\arctg x}{1+x^2}\;dx = \int \arctg x\;d(\arctg x) = \frac{\arctg ^2x}{2}+C

Для первого уже будем использовать интегрирование по частям. Внесем полином под дифференциал:

\int (x^2-1)\arctg x\;dx = \int \arctg x\;d\left(\frac{x^3}{3}-x\right)

Применяем формулу:

\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\arctg x - \frac{1}{3}\int \left(x^3-3x\right) \;d(\arctg x)

Выносим производную из под дифференциала:

\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\arctg x - \frac{1}{3}\int \left(x^3-3x\right)\cdot \frac{dx}{1+x^2}

Осталось найти первообразную от полученной рациональной функции. Для этого вновь выделим целую часть:

\frac{x^3-3x}{1+x^2} = \frac{x^3+x-4x}{1+x^2}=x-\frac{4x}{1+x^2}

Интеграл от

x

является табличным, а для интегрирования второго выражения нужно внести

x

под дифференциал:

\int \frac{4x}{1+x^2}\;dx = \int \frac{2\;d(1+x^2)}{1+x^2}=2\ln|1+x^2|+C

Для ответа осталось собрать все вместе.