Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2151

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2151

∫xln⁡x(1+x2)2 dx\displaystyle\int\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx.
Ответ:x2ln⁡x2(1+x2)−14ln⁡(1+x2)+C,x>0\dfrac{x^2\ln x}{2(1+x^2)}
-\dfrac14\ln(1+x^2)+C,
\qquad x>0

Решение

Пусть II — исходный интеграл. Из-за множителя ln⁡x\ln x работаем при x>0x>0. Сначала найдём первообразную для второго множителя. При t=1+x2t=1+x^2 имеем dt=2x dxdt=2x\,dx, поэтому∫x dx(1+x2)2=12∫t−2 dt=−12t=−12(1+x2)\int\dfrac{x\,dx}{(1+x^2)^2}
=\dfrac12\int t^{-2}\,dt
=-\dfrac1{2t}
=-\dfrac1{2(1+x^2)}Теперь применим интегрирование по частям, положивu=ln⁡x,dv=x dx(1+x2)2,du=dxx,v=−12(1+x2)u=\ln x,
\qquad
dv=\dfrac{x\,dx}{(1+x^2)^2},
\qquad
du=\dfrac{dx}{x},
\qquad
v=-\dfrac{1}{2(1+x^2)}ТогдаI=−ln⁡x2(1+x2)+12∫dxx(1+x2)\begin{aligned}
I
&=-\dfrac{\ln x}{2(1+x^2)}
+\dfrac12\int\dfrac{dx}{x(1+x^2)}
\end{aligned}Оставшуюся рациональную дробь разложим следующим образом:1x(1+x2)=1x−x1+x2\dfrac{1}{x(1+x^2)}
=\dfrac1x-\dfrac{x}{1+x^2}Равенство проверяется приведением к общему знаменателю:1x−x1+x2=1+x2−x2x(1+x2)=1x(1+x2)\dfrac1x-\dfrac{x}{1+x^2}
=\dfrac{1+x^2-x^2}{x(1+x^2)}
=\dfrac1{x(1+x^2)}Второе слагаемое интегрируем с помощью t=1+x2t=1+x^2, dt=2x dxdt=2x\,dx:∫x1+x2 dx=12∫dtt=12ln⁡(1+x2)\int\dfrac{x}{1+x^2}\,dx
=\dfrac12\int\dfrac{dt}{t}
=\dfrac12\ln(1+x^2)ПоэтомуI=−ln⁡x2(1+x2)+12ln⁡x−14ln⁡(1+x2)+C==x2ln⁡x2(1+x2)−14ln⁡(1+x2)+C\begin{aligned}
I
&=-\dfrac{\ln x}{2(1+x^2)}
+\dfrac12\ln x
-\dfrac14\ln(1+x^2)+C=\\
&=\dfrac{x^2\ln x}{2(1+x^2)}
-\dfrac14\ln(1+x^2)+C
\end{aligned}
Демидович № 2151 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика