Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2126

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2126

\displaystyle\int\frac{dx}{x^6(1+x^2)}

Ответ:

-\frac{1}{5x^5}+\frac{1}{3x^3}-\frac{1}{x}-\arctg x+C

Решение

Так как у нас рассматривается интеграл от рациональной функции, его легко можно решить с помощью метода неопределенных коэффициентов. Мы же покажем другой способ решения, который позволит не решать систему с большим количеством неизвестных.

Добавим и вычтем в числителе

x^2

. Тогда подынтегральное выражение можно будет разбить на сумму:

\frac{1}{x^6(1+x^2)} = \frac{1+x^2-x^2}{x^6(1+x^2)} = \frac{1}{x^6} - \frac{1}{x^4(1+x^2)}

Во втором слагаемом получили выражение похожего вида, но с меньшей степенью. Проделывая ту же самую операцию уже с ним получим:

\frac{1}{x^6(1+x^2)} = \frac{1}{x^6} -\frac{1}{x^4}+ \frac{1}{x^2(1+x^2)}

Повторим еще раз:

\frac{1}{x^6(1+x^2)} = \frac{1}{x^6} -\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}

Значит, исходный интеграл распадется на сумму:

\int \frac{dx}{x^6(1+x^2)}=\int\frac{dx}{x^6} -\int\frac{dx}{x^4}+ \int\frac{dx}{x^2}-\int\frac{dx}{1+x^2}

Все оставшиеся интегралы являются табличными, так что остается только взять их и записать ответ.