Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2165

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{1+\sin x}{1+\cos x}e^x\,dx

Ответ:

e^x\tg\dfrac{x}{2}+C, \qquad x\ne(2k+1)\pi, \quad k\in\mathbb Z

На каждом промежутке между соседними исключёнными точками

C

выбирается независимо.

Решение

Знаменатель обращается в нуль при

x=(2k+1)\pi

k\in\mathbb Z

. На каждом промежутке между соседними такими точками положим

t=\tg\frac{x}{2}

. Из формул

\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}

1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}

следует

1+\sin x =\sin^2\dfrac{x}{2}+\cos^2\dfrac{x}{2} +2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2} =\left(\sin\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}\right)^2

Поэтому

\begin{aligned} \dfrac{1+\sin x}{1+\cos x} &=\dfrac{\left(\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)^2} {2\cos^2\frac{x}{2}}=\\ &=\dfrac12(1+t)^2\end{aligned}

Кроме того,

t'=\dfrac12(1+t^2)

Поэтому непосредственное дифференцирование даёт

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\bigl(e^xt\bigr) &=e^x(t+t')=\\ &=\dfrac{e^x}{2}(1+2t+t^2) =e^x\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}\end{aligned}

Следовательно,

\int e^x\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}\,dx =e^x\tg\dfrac{x}{2}+C

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.