Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2166

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2166

\displaystyle\int|x|\,dx

Ответ:

\dfrac{x|x|}{2}+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Раскроем модуль:

|x|= \begin{cases} -x, & x<0\\ x, & x\geqslant0 \end{cases}

На промежутках

x<0

x>0

первообразные равны соответственно

-\frac{x^2}{2}

\frac{x^2}{2}

. Чтобы объединённая первообразная была непрерывной в нуле, постоянные у двух выражений должны совпадать. Выберем эту общую постоянную равной нулю и запишем одну первообразную:

F(x)=\dfrac{x|x|}{2}

При

x\ne0

имеем

F'(x)=|x|

. В точке

x=0

F'(0)=\lim_{h\to0}\dfrac{F(h)-F(0)}{h} =\lim_{h\to0}\dfrac{|h|}{2} =0

Следовательно, эта формула задаёт первообразную на всей числовой прямой.