Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2141

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2141

\displaystyle\int x\ln(4+x^4)\,dx

Ответ:

\frac{x^2}{2}\ln(4+x^4)-x^2+2\arctg \left(\frac{x^2}{2}\right)+C

Решение

Как и в задачах до этого будем применять интегрирование по частям, чтобы избавиться от логарифма и перейти к интегралу от рациональной функции. Для начала занесем

x

под дифференциал:

\int x \ln(4+x^4)\;dx = \frac{1}{2}\int \ln(4+x^4)\;d(x^2)

Теперь уже берем интеграл по частям:

\frac{x^2}{2}\ln(4+x^4) - \frac{1}{2}\int x^2\;d(\ln(4+x^4))

Выносим производную логарифма из под дифференциала и сразу упрощаем:

\frac{x^2}{2}\ln(4+x^4) - 2 \int \frac{x^5}{4+x^4}\;dx

В полученном интеграле выделим целую часть:

\int \frac{x^5}{4+x^4}\;dx = \int \frac{x^5+4x-4x}{4+x^4}\;dx = \int x\;dx-4\int \frac{x}{4+x^4}\;dx

Первый интеграл является табличным, а второй легко решается при занесении числителя под дифференциал:

4\int \frac{x}{4+x^4}\;dx = 2\int \frac{d(x^2)}{2^2+(x^2)^2} = \arctg \left(\frac{x^2}{2}\right)+C

С учетом этого, можем найти другой промежуточный интеграл:

\int \frac{x^5}{4+x^4}\;dx = \frac{x^2}{2} - \arctg \left(\frac{x^2}{2}\right)+C

Остается подставить его в выражение для исходного интеграла и записать ответ.