Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2176

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Найти

\displaystyle\int xf''(x)\,dx

Ответ:

x f'(x)-f(x)+C

Решение

Предполагаем, что функция

f

дважды дифференцируема на рассматриваемом промежутке. Применим интегрирование по частям:

u=x, \qquad dv=f''(x)\,dx, \qquad du=dx, \qquad v=f'(x)

Тогда

\begin{aligned} \int x f''(x)\,dx &=x f'(x)-\int f'(x)\,dx=\\ &=x f'(x)-f(x)+C\end{aligned}

Непосредственная проверка даёт

\begin{aligned} \bigl(xf'(x)-f(x)\bigr)' &=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=\\ &=xf''(x)\end{aligned}