Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2144

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2144

∫xx2+1ln⁡x2−1 dx\displaystyle\int x\sqrt{x^2+1}\ln\sqrt{x^2-1}\,dx.
Ответ:(x2+1)323ln⁡x2−1−19(x2+1)32−23x2+1−23ln⁡∣x2+1−2x2+1+2∣+C\frac{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}\ln\sqrt{x^2-1} - \frac{1}{9}(x^2+1)^{\frac 3 2} - \frac{2}{3}\sqrt{x^2+1}-\frac{\sqrt 2}{3}\ln \left| \frac{\sqrt{x^2+1}-\sqrt 2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt 2}\right|+C

Решение

В первую очередь занесем xx под дифференциал, чтобы дальше была зависимость только от x2x^2:∫xx2+1ln⁡x2−1  dx=12∫x2+1ln⁡x2−1  d(x2)\int x\sqrt{x^2+1}\ln\sqrt{x^2-1}\;dx= \frac{1}{2}\int \sqrt{x^2+1}\ln\sqrt{x^2-1}\;d(x^2)Для удобства далее будем обозначать t=x2t=x^2. Теперь имеем интеграл:12∫t+1ln⁡t−1  dt\frac{1}{2}\int \sqrt{t+1}\ln\sqrt{t-1}\;dtЧтобы избавиться от логарифма, надо использовать тот же метод, что и во многих задачах до этого, а именно - интегрирование по частям. Внесем корень под дифференциал:12∫t+1ln⁡t−1  dt=13∫ln⁡t−1  d((t+1)32)\frac{1}{2}\int \sqrt{t+1}\ln\sqrt{t-1}\;dt = \frac{1}{3}\int\ln\sqrt{t-1}\;d\left((t+1)^{\frac{3}{2}}\right)Применяем формулу и получаем:(t+1)323ln⁡t−1−13∫(t+1)32  d(ln⁡t−1)\frac{(t+1)^{\frac{3}{2}}}{3}\ln\sqrt{t-1}-\frac{1}{3}\int (t+1)^{\frac{3}{2}}\;d(\ln\sqrt{t-1})Выносим производную из дифференциала и сразу упрощаем:(t+1)323ln⁡t−1−16∫(t+1)32t−1  dt\frac{(t+1)^{\frac{3}{2}}}{3}\ln\sqrt{t-1}-\frac{1}{6}\int \frac{(t+1)^{\frac{3}{2}}}{t-1}\;dtВторой интеграл естественным образом разобьем на 2 слагаемых:16∫(t+1)t+1t−1  dt=16∫t+1  dt+13∫t+1t−1  dt\frac{1}{6}\int \frac{(t+1)\sqrt{t+1}}{t-1}\;dt = \frac{1}{6}\int \sqrt{t+1}\;dt+\frac{1}{3}\int \frac{\sqrt{t+1}}{t-1}\;dtВзять первый не представляет труда:16∫t+1  dt=16∫t+1  d(t+1)=19(t+1)32+C\frac{1}{6}\int \sqrt{t+1}\;dt =\frac{1}{6}\int \sqrt{t+1}\;d(t+1)=\frac{1}{9}(t+1)^{\frac 3 2}+CВо втором интеграле просто сделаем замену u=t+1u=\sqrt{t+1}, чтобы перейти к рациональной функции. При замене имеем:u=t+1,t=u2−1иdt=2u  duu=\sqrt{t+1},\quad t =u^2-1 \quad\text{и}\quad dt =2u\;duПодставим в интеграл:13∫uu2−2⋅2u  du=23∫u2u2−2  du\frac{1}{3}\int \frac{u}{u^2-2}\cdot 2u\;du = \frac{2}{3}\int \frac{u^2}{u^2-2}\;duЗдесь уже нужно лишь выделить целую часть:23∫u2u2−2  du=23∫du+43∫duu2−2\frac{2}{3}\int \frac{u^2}{u^2-2}\;du = \frac{2}{3}\int du + \frac{4}{3}\int \frac{du}{u^2-2}Получили два табличных интеграла. Подставим их:23∫u2u2−2  du=23u+23ln⁡∣u−2u+2∣+C\frac{2}{3}\int \frac{u^2}{u^2-2}\;du =\frac{2}{3}u+\frac{\sqrt 2}{3}\ln \left| \frac{u-\sqrt 2}{u+\sqrt 2}\right|+CОстается только собрать все воедино и сделать обратные замены, чтобы получить ответ.
Демидович № 2144 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика