Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2145

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2145

∫x1−x2ln⁡x1−x dx\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ln\frac{x}{\sqrt{1-x}}\,dx.
Ответ:−1−x2ln⁡x1−x+121−x2+12ln⁡1−1−x21+1−x2+arctg⁡1+x1−x+C,0<x<1\begin{aligned}
&-\sqrt{1-x^2}\ln\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}
+\dfrac12\sqrt{1-x^2}
+\dfrac12\ln\dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}\\
&\qquad+\arctg\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}+C,
\qquad 0<x<1
\end{aligned}

Решение

Действительная подынтегральная функция определена при 0<x<10<x<1. Обозначимr=1−x2,L=ln⁡x1−xr=\sqrt{1-x^2},
\qquad
L=\ln\dfrac{x}{\sqrt{1-x}}Так как dv=xr dxdv=\frac{x}{r}\,dx имеет первообразную v=−rv=-r, интегрирование по частям даётI=−rL+∫r(1x+12(1−x))dxI=-rL+\int r\left(\dfrac1x+\dfrac1{2(1-x)}\right)dxТо естьI=−rL+∫rx dx+12∫1+x1−x dxI=-rL+\int\dfrac{r}{x}\,dx
+\dfrac12\int\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}\,dxДля первого интеграла получаем∫rx dx=r+12ln⁡1−r1+r+C\int\dfrac{r}{x}\,dx
=r+\dfrac12\ln\dfrac{1-r}{1+r}+CВо втором положимu=1+x1−x,x=u2−1u2+1,dx=4u(u2+1)2 duu=\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}},
\qquad
x=\dfrac{u^2-1}{u^2+1},
\qquad
dx=\dfrac{4u}{(u^2+1)^2}\,duТогда12∫1+x1−x dx=2∫u2(1+u2)2 du=arctg⁡u−u1+u2+C\dfrac12\int\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}\,dx
=2\int\dfrac{u^2}{(1+u^2)^2}\,du
=\arctg u-\dfrac{u}{1+u^2}+CПри обратной замене u1+u2=r2\frac{u}{1+u^2}=\frac r2. ПоэтомуI=−rL+r2+12ln⁡1−r1+r+arctg⁡1+x1−x+CI=-rL+\dfrac r2
+\dfrac12\ln\dfrac{1-r}{1+r}
+\arctg\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}+C
Демидович № 2145 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика