Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2158

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\arcsin x\,dx

Ответ:

\dfrac12x\sqrt{1-x^2}\,\arcsin x +\dfrac14\arcsin^2 x -\dfrac{x^2}{4}+C, \qquad -1\le x\le1

Решение

Пусть

I

— исходный интеграл. Подынтегральная функция определена при

-1\le x\le1

. Сначала работаем на промежутке

-1<x<1

. Обозначим

A=\arcsin x

и применим интегрирование по частям. Для этого используем первообразную

\int\sqrt{1-x^2}\,dx =\dfrac12\left(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\right)

Действительно,

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx} \left[\dfrac12\left(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\right)\right] &=\dfrac12\left( \sqrt{1-x^2}-\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} +\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)=\sqrt{1-x^2}\end{aligned}

Положим

u=A, \qquad dv=\sqrt{1-x^2}\,dx, \qquad du=\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad v=\dfrac12\left(x\sqrt{1-x^2}+A\right)

Тогда

\begin{aligned} I &=\dfrac12x\sqrt{1-x^2}\,A +\dfrac12A^2 -\dfrac12\int x\,dx -\dfrac12\int\dfrac{A\,dx}{\sqrt{1-x^2}}\end{aligned}

В последнем интеграле положим

t=A

. Тогда

dt=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}

, поэтому

\int\dfrac{A\,dx}{\sqrt{1-x^2}} =\int t\,dt =\dfrac12A^2

Следовательно,

\begin{aligned} I &=\dfrac12x\sqrt{1-x^2}\,\arcsin x +\dfrac14\arcsin^2 x -\dfrac{x^2}{4}+C\end{aligned}

Обозначим найденную функцию без

C

через

F

. Она непрерывна на

[-1,1]

, а внутри отрезка её производная равна

f(x)=\sqrt{1-x^2}\,\arcsin x

. При

x\to\pm1

имеем

f(x)\to0

, так как

\sqrt{1-x^2}\to0

|\arcsin x|\leqslant\frac\pi2

. Проверим производные на концах. Для

a=-1

или

a=1

по теореме Лагранжа

\dfrac{F(x)-F(a)}{x-a}=F'(\xi)=f(\xi), \qquad \xi\text{ между }x\text{ и }a

При приближении

x

a

изнутри отрезка имеем

\xi\to a

, и разностное отношение стремится к нулю. Так получаем односторонние производные на концах и первообразную на всём отрезке

[-1,1]