Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2175

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int f(x)\,dx

, где

f(x)=\begin{cases}1,&\text{если }-\infty<x<0;\\x+1,&\text{если }0\le x\le1;\\2x,&\text{если }1<x<+\infty.\end{cases}

Ответ:

\int f(x)\,dx= \begin{cases} x+C, & x<0\\[6pt] x+\dfrac{x^2}{2}+C, & 0\leqslant x\leqslant1\\[6pt] x^2+\dfrac12+C, & x>1 \end{cases}

Постоянная

C

является общей для всех трёх ветвей.

Решение

Подынтегральная функция задана тремя ветвями:

f(x)= \begin{cases} 1,&x<0\\ 1+x,&0\leqslant x\leqslant1\\ 2x,&x>1 \end{cases}

Проинтегрируем каждую ветвь и согласуем постоянные в точках

0

1

. Для

x<0

выберем первую ветвь

F_1(x)=x

. На отрезке

0\leqslant x\leqslant1

вторая ветвь имеет вид

F_2(x)=x+\dfrac{x^2}{2}+C_1

Из непрерывности при

x=0

следует

C_1=0

, поэтому

F_2(1)=\frac32

. При

x>1

третья ветвь имеет вид

F_3(x)=x^2+C_2

. Согласование при

x=1

даёт

1+C_2=\dfrac32, \qquad C_2=\dfrac12

Проверим производные в точках склеивания:

F_1'(0)=1, \qquad F_2'(0)=1+0=1

F_2'(1)=1+1=2, \qquad F_3'(1)=2\cdot1=2

Следовательно, значения и производные соседних ветвей согласованы, поэтому получена первообразная на всей

\mathbb R