Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2142

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

\displaystyle\int\frac{\arcsin x}{x^2}\cdot\frac{1+x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx

Ответ:

\dfrac{\arcsin^2x}{2}-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}x\arcsin x+\ln|x|+C,\qquad 0<|x|<1

Решение

При

0<|x|<1

положим

t=\arcsin x

. Тогда

x=\sin t

dx=\cos t\,dt

, причём

\cos t=\sqrt{1-x^2}>0

. Получаем

I=\int t\left(1+\dfrac1{\sin^2t}\right)dt=\dfrac{t^2}{2}+\int\dfrac{t}{\sin^2t}\,dt

Последний интеграл берём по частям:

u=t

dv=\frac{dt}{\sin^2t}

v=-\ctg t

. Тогда

I=\dfrac{t^2}{2}-t\ctg t+\int\ctg t\,dt=\dfrac{t^2}{2}-t\ctg t+\ln|\sin t|+C

Возвращаясь к

x

, важно сохранить знак

\ctg t=\frac{\sqrt{1-x^2}}x

I=\dfrac{\arcsin^2x}{2}-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}x\arcsin x+\ln|x|+C