Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2140

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2140

\displaystyle\int(2x+3)\arccos(2x-3)\,dx

Ответ:

\frac{1}{8}(2\cdot(2x-3)^2\arccos (2x-3)-(2x-3)\sqrt{1-(2x-3)^2}+\arcsin (2x-3))+3\cdot (2x-3)\arccos (2x-3) - 3\sqrt{1-(2x-3)^2}+C

Формула задаёт первообразную при

1<x<2

и непрерывно продолжается к

x=1

x=2

Решение

Действительная подынтегральная функция определена при

1\leqslant x\leqslant2

. Выражение в аргументе функции косинуса принять за новую переменную:

t=2x-3\quad x=\frac{t+3}{2} \quad dx =\frac{1}{2}dt

Подставим в интеграл:

\frac{1}{2} \int (t+6)\arccos t \; dt

Далее надо раскрыть скобки, чтобы получить два простых интеграла:

\frac{1}{2} \int (t+6)\arccos t \; dt =\frac{1}{2} \int t\arccos t \; dt +3\int \arccos t\;dt

Решим по очереди полученные интегралы.

1) Начнем со второго. Возьмем его по частям, чтобы оставить от арккосинуса только производную:

\int \arccos t\;dt = t\arccos t-\int t\;d(\arccos t)

Вынесем производную из под дифференциала:

t\arccos t-\int t\cdot \frac{-dt}{\sqrt{1-t^2}} =t\arccos t+ \int \frac{t\;dt}{\sqrt{1-t^2}}

Последний интеграл решается путем занесения числителя под дифференциал:

\int \frac{t\;dt}{\sqrt{1-t^2}} = -\int \frac{d(1-t^2)}{2\sqrt{1-t^2}}=-\sqrt{1-t^2}+C

2) Теперь рассмотрим другое слагаемое. Этот интеграл тоже будем брать по частям, чтобы избавиться от арккосинуса:

\int t\arccos t\;dt = \frac{1}{2} \int \arccos t \;d(t^2) = \frac{t^2}{2} \arccos t - \frac{1}{2}\int t^2\;d(\arccos t)

Выносим производную из под дифференциала и упрощаем выражение:

\frac{t^2}{2} \arccos t - \frac{1}{2}\int t^2\cdot \frac{-dt}{\sqrt{1-t^2}} =\frac{t^2}{2} \arccos t+ \frac{1}{2}\int \frac{t^2 \;dt}{\sqrt{1-t^2}}

В оставшемся интеграле требуется добавить и вычесть единицу в числителе, чтобы разбить на два интеграла попроще:

\int \frac{t^2 \;dt}{\sqrt{1-t^2}}=\int \frac{t^2 -1+1}{\sqrt{1-t^2}}\;dt =-\int \sqrt{1-t^2}\;dt+\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}

Вновь применим интегрирование по частям к первому интегралу:

\int \sqrt{1-t^2}\;dt = t \sqrt{1-t^2} +\int\frac {t^2 \;dt}{\sqrt{1-t^2}}

Подставляя данное выражение в равенство выше, получаем, что интеграл выразится из полученного уравнения:

\int \frac{t^2 \;dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{1}{2}(-t\sqrt{1-t^2}+\arcsin t )+C

В результате получим выражение для всего рассматриваемого интеграла:

\int t\arccos t\;dt = \frac{1}{4}(2t^2\arccos t -t\sqrt{1-t^2}+\arcsin t)+C

Остается просуммировать полученные функции с нужными коэффициентами и сделать обратную замену, чтобы получить окончательный ответ. Мы оставим его в неупрощенной форме, чтобы было видно, как формировались коэффициенты.