Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2137

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2137

∫1+1−x21−1−x2 dx\displaystyle\int\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\sqrt{1-x^2}}\,dx.
Ответ:∫1+1−x21−1−x2 dx=−x−2arcsin⁡x−2(1+1−x2)x+C,x∈[−1,0)∪(0,1]\int\dfrac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\sqrt{1-x^2}}\,dx
=-x-2\arcsin x
-\dfrac{2\bigl(1+\sqrt{1-x^2}\bigr)}x+C,
\qquad
x\in[-1,0)\cup(0,1]На (−1,0)(-1,0) и (0,1)(0,1) постоянные интегрирования могут быть различными; в концах −1-1 и 11 используем непрерывное продолжение.

Решение

Найдём интегралI=∫1+1−x21−1−x2 dxI=\int\dfrac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\sqrt{1-x^2}}\,dxКорень определён при −1⩽x⩽1-1\leqslant x\leqslant1. Знаменатель обращается в нуль только тогда, когда 1−x2=1\sqrt{1-x^2}=1, то есть при x=0x=0. Поэтому область определения подынтегральной функции равна[−1,0)∪(0,1][-1,0)\cup(0,1]При x=±1x=\pm1 корень равен нулю, а знаменатель — единице. Эти точки допустимы. Первообразную сначала найдём на (−1,0)(-1,0) и (0,1)(0,1), а затем продолжим в концы.

Умножим числитель и знаменатель дроби на 1+1−x21+\sqrt{1-x^2}. Этот множитель положителен, а в знаменателе получится разность квадратов:(1−1−x2)(1+1−x2)=1−(1−x2)=x2\bigl(1-\sqrt{1-x^2}\bigr)
\bigl(1+\sqrt{1-x^2}\bigr)
=1-(1-x^2)=x^2Следовательно,1+1−x21−1−x2=(1+1−x2)2x2==2−x2+21−x2x2=2x2−1+21−x2x2\begin{aligned}
\dfrac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\sqrt{1-x^2}}
&=\dfrac{\bigl(1+\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}{x^2}=\\
&=\dfrac{2-x^2+2\sqrt{1-x^2}}{x^2}=\dfrac2{x^2}-1+2\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}
\end{aligned}Для первого слагаемого используем формулу ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C при n≠−1n\ne-1. Здесь n=−2n=-2, поэтому∫2x2 dx=2∫x−2 dx=2x−1−1+C=−2x+C\int\dfrac2{x^2}\,dx
=2\int x^{-2}\,dx
=2\dfrac{x^{-1}}{-1}+C
=-\dfrac2x+CПервообразная постоянной −1-1 равна −x-x. Для третьего слагаемого обозначимJ=∫1−x2x2 dxJ=\int\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}\,dxТогдаI=−2x−x+2JI=-\dfrac2x-x+2JНайдём JJ по формуле интегрирования по частям∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,duВыбираем uu так, чтобы производная корня содержала множитель xx: он сократится с xx в первообразной дроби 1x2\frac1{x^2}. Поэтому берёмu=1−x2,dv=dxx2u=\sqrt{1-x^2},
\qquad
dv=\dfrac{dx}{x^2}Находим дифференциал dudu и первообразную vv:du=−2x21−x2 dx=−x1−x2 dx,v=−1xdu=\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\,dx
=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx,
\qquad
v=-\dfrac1xПри умножении vv на dudu два минуса дают плюс, а множители xx сокращаются. Однако перед всем интегралом ∫v du\int v\,du в формуле по частям остаётся минус. ПоэтомуJ=−1−x2x−∫(−1x)(−x1−x2) dx==−1−x2x−∫dx1−x2==−1−x2x−arcsin⁡x+C\begin{aligned}
J
&=-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}x
-\int\left(-\dfrac1x\right)
\left(-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\,dx=\\
&=-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}x
-\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\\
&=-\dfrac{\sqrt{1-x^2}}x-\arcsin x+C
\end{aligned}Здесь использована формула (arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}, справедливая при −1<x<1-1<x<1. Подставим найденное выражение для JJ в исходный интеграл и объединим дроби:I=−2x−x−21−x2x−2arcsin⁡x+C==−x−2arcsin⁡x−2(1+1−x2)x+C\begin{aligned}
I
&=-\dfrac2x-x-\dfrac{2\sqrt{1-x^2}}x-2\arcsin x+C=\\
&=-x-2\arcsin x-\dfrac{2\bigl(1+\sqrt{1-x^2}\bigr)}x+C
\end{aligned}Постоянная 2C2C также произвольна, поэтому снова обозначаем её буквой CC.

Проверим ответ. Обозначим r=1−x2r=\sqrt{1-x^2}; на открытых промежутках имеем r′=−xrr'=-\frac{x}{r}. Дифференцируя полученную первообразную, находимF′(x)=−1−2r−2(r′x−1+rx2)==−1−2r+2r+2(1+r)x2==−1+2(1+r)x2=2−x2+2rx2=1+r1−r\begin{aligned}
F'(x)
&=-1-\dfrac2r
-2\left(\dfrac{r'}x-\dfrac{1+r}{x^2}\right)=\\
&=-1-\dfrac2r+\dfrac2r+\dfrac{2(1+r)}{x^2}=\\
&=-1+\dfrac{2(1+r)}{x^2}
=\dfrac{2-x^2+2r}{x^2}
=\dfrac{1+r}{1-r}
\end{aligned}Последняя дробь получена тем же преобразованием, что и в начале решения. Производная совпала с исходной функцией.

Формула имеет конечные значения при x=±1x=\pm1, поэтому первообразную можно непрерывно продолжить в эти концы. Через точку x=0x=0 промежутки не объединяем: исходная функция в ней не определена.
Демидович № 2137 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика