Раздел III. Неопределённый интеграл — § 6. Примеры на интегрирование функций

Демидович — задача 2169

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы:

Задача 2169

∫∣∣1+x∣−∣1−x∣∣ dx\displaystyle\int\bigl||1+x|-|1-x|\bigr|\,dx.
Ответ:{2x+1+C,x≤−1x∣x∣+C,−1≤x≤12x−1+C,x≥1\begin{cases}2x+1+C,&x\le-1\\x|x|+C,&-1\le x\le1\\2x-1+C,&x\ge1\end{cases}

Решение

Раскроем модули на промежутках, разделённых точками −1-1, 00 и 11. При x≥1x\ge1 внутренняя разность равна 22, при x≤−1x\le-1 она равна −2-2, а при −1≤x≤1-1\le x\le1 равна 2x2x. С учётом внешнего модуля∣∣1+x∣−∣1−x∣∣={2,∣x∣≥12∣x∣,∣x∣≤1\bigl||1+x|-|1-x|\bigr|=\begin{cases}2,&|x|\ge1\\2|x|,&|x|\le1\end{cases}На среднем промежутке первообразной является x∣x∣x|x|. При x≥1x\ge1 берём 2x−12x-1, а при x≤−1x\le-1 берём 2x+12x+1, чтобы значения на границах совпадали. Таким образом,F(x)={2x+1+C,x≤−1x∣x∣+C,−1≤x≤12x−1+C,x≥1F(x)=\begin{cases}2x+1+C,&x\le-1\\x|x|+C,&-1\le x\le1\\2x-1+C,&x\ge1\end{cases}В точках −1-1, 00 и 11 совпадают и значения, и односторонние производные. Поэтому это первообразная на всей числовой прямой.
Демидович № 2169 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика