Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 376

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить уравнение

Задача 376

lg⁡x=0,1x\lg x=0{,}1x
Построениеx≈1,371,x=10x\approx1{,}371,
\qquad
x=10

Построение

Идея

Область допустимых значений определяется условиемx>0x>0Рассмотрим разностьF(x)=lg⁡x−0,1xF(x)=\lg x-0{,}1xЕё производная равнаF′(x)=1xln⁡10−0,1F'(x)=\frac1{x\ln10}-0{,}1Поэтому единственный максимум достигается приx0=10ln⁡10≈4,343x_0=\frac{10}{\ln10}\approx4{,}343При x→0+0x\to0+0 и x→+∞x\to+\infty функция F(x)F(x) стремится к
−∞-\infty, а в точке максимумаF(x0)≈0,204>0F(x_0)\approx0{,}204>0Следовательно, графики y=lg⁡xy=\lg x и
y=0,1xy=0{,}1x имеют ровно две общие точки. Одна абсцисса получается точно.
При x=10x=10 имеемlg⁡10=1=0,1⋅10\lg10=1=0{,}1\cdot10поэтому x2=10x_2=10 является точным корнем.
Для второй по графику определяем промежуток её расположения и методом
половинного деления уточняем значение:x1≈1,371,x2=10x_1\approx1{,}371,
\qquad
x_2=10
  1. 1

    Построение графика

    Строим логарифмическую кривую только при x>0x>0
    и прямую y=0,1xy=0{,}1x. Отмечаем обе точки пересечения.график к задаче Демидовича № 376

Проверка

Ответ.x≈1,371,x=10x\approx1{,}371,
\qquad
x=10
Демидович № 376 — решение и ответ