Раздел I. Введение в анализ — § 4. Графическое изображение функции

Демидович — задача 376

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Графически решить уравнение

Задача 376

lg⁡x=0,1x\lg x=0{,}1x
Построениеx1≈1,371x_1\approx1{,}371, x2=10x_2=10.

Построение

Допустимы только x>0x>0. Строим y=lg⁡xy=\lg x и y=x10y=\frac{x}{10}.график к задаче Демидовича № 376
Один корень виден точно: при x=10x=10 обе ординаты равны 11. Ещё одно пересечение находится между 11 и 22: разность F(x)=lg⁡x−x10F(x)=\lg x-\frac{x}{10} удовлетворяетF(1)=−110<0,F(2)=lg⁡2−15>0.F(1)=-\frac{1}{10}<0,
\qquad F(2)=\lg2-\frac{1}{5}>0.Последнее неравенство можно проверить без приближения логарифма: 25=32>102^5=32>10 даёт 5lg⁡2>15\lg2>1.
Почему пересечений не больше двух? В №369ж доказано строгое неравенствоln⁡(θa+(1−θ)b)>θln⁡a+(1−θ)ln⁡b(a≠b, 0<θ<1).\ln(\theta a+(1-\theta)b)>\theta\ln a+(1-\theta)\ln b
\quad(a\ne b,\ 0<\theta<1).После деления на ln⁡10>0\ln10>0 и вычитания линейной функции оно сохраняется для FF. Если бы было три корня a<c<ba<c<b, то при θ=(b−c)(b−a)\theta=\frac{(b-c)}{(b-a)} получили бы F(c)>θF(a)+(1−θ)F(b)=0F(c)>\theta F(a)+(1-\theta)F(b)=0, вопреки F(c)=0F(c)=0.
Уточнять нужно только корень между 11 и 22.
Уточним абсциссы, найденные по графику. На каждом шаге берём середину m=(a+b)2m=\frac{(a+b)}{2} и вычисляем F(m)F(m). Если F(a)F(a) и F(m)F(m) имеют разные знаки, оставляем [a,m][a,m]; иначе оставляем [m,b][m,b]. Таким образом, длина промежутка каждый раз уменьшается вдвое. В таблицах приведены все выбранные середины и результаты подстановки; конечный промежуток указан после каждой таблицы.
Для численных значений логарифма, показательной функции или тангенса используем калькулятор; аргумент тангенса задаём в радианах. Показанные десятичные значения F(m)F(m) округлены. Вычисляем именно выписанную выше разность двух ординат, а не считываем готовый корень.
Для 1-го корня начинаем с [1;2][1;2]: F(a)≈−0,1F(a)\approx-0{,}1, F(b)≈0,101029995664F(b)\approx0{,}101029995664.kmF(m)11,50,026091259055721,25−0,028089986991931,3750,00080269816628141,3125−0,013150687922051,34375−0,0060565227403261,359375−0,0025982213652771,3671875−0,00089067096157481,37109375−0,000042223846025591,3730468750,000380676543993101,37207031250,000169336351287\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
1&1{,}5&0{,}0260912590557\\
2&1{,}25&-0{,}0280899869919\\
3&1{,}375&0{,}000802698166281\\
4&1{,}3125&-0{,}0131506879220\\
5&1{,}34375&-0{,}00605652274032\\
6&1{,}359375&-0{,}00259822136527\\
7&1{,}3671875&-0{,}000890670961574\\
8&1{,}37109375&-0{,}0000422238460255\\
9&1{,}373046875&0{,}000380676543993\\
10&1{,}3720703125&0{,}000169336351287
\end{array}kmF(m)111,371582031250,0000635837727849121,371337890620,0000106868458679\begin{array}{r|r|r}k&m&F(m)\\\hline
11&1{,}37158203125&0{,}0000635837727849\\
12&1{,}37133789062&0{,}0000106868458679
\end{array}Получен промежуток [1,37109375;1,37133789062][1{,}37109375;1{,}37133789062]. Оба конца при округлении до тысячных дают 1,3711{,}371, поэтому x1≈1,371x_1\approx1{,}371.
Демидович № 376 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика